[obm-l] Eureka e outros suas soluções
Meus amigos, a revista Eureka traz as últimas questões de olimpiadas, e excelentes artigos. Alguém sabe se existe algum site que contenha algumas dessas SOLUÇÕES/RESPOSTAS. Obrigado Hermann -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Piso de um número real
Se x é um numero real,seja [x] o maior inteiro n tal que n = xExemplos [pi] =
3 e [3] = 3Seja x - [x] = ´´parte decimal de x´´Eu desconfio que as ´´partes
decimais´´ de (n.2^1/2)/2 e n.{1 - (2^1/2)/2}somam 1.Nao consigo
justificar.Alguem ajuda?
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[obm-l] Re: [obm-l] Piso de um número real
2014-02-15 10:20 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com:
Se x é um numero real,seja [x] o maior inteiro n tal que n = x
Exemplos [pi] = 3 e [3] = 3
Seja x - [x] = ´´parte decimal de x´´
Eu desconfio que as ´´partes decimais´´ de (n.2^1/2)/2 e n.{1 - (2^1/2)/2}
somam 1.
Nao consigo justificar.Alguem ajuda?
No capítulo 3 do Concrete Mathematics, tem vários truques legais pra
trabalhar com isso.
Para n par, sua conjectura é verdadeira (eu uso * p/ multiplicação):
(n * 2^1/2)/2 + n * (1 - 2^1/2)/2 - [(n * 2^1/2)/2] - n * (1 - 2^1/2)/2
= n/2 - [(n * 2^1/2)/ 2 + [n(1 - 2^1/2) / 2] ](a gente pode por
inteiros dentro)
= n/2 - [(n * 2^1/2)/2 + [n/2 - n*2^1/2 / 2] ] (n/2 é inteiro e sai)
= - [(n * 2^1/2)/2 + [- n * (2^1/2) / 2 ]
= - [(n * 2^1/2)/2 - ]n * (2^1/2) / 2[ ] (aqui usamos a função ]x[ =
min{n inteiro | n = x} e a propriedade [-x] = -]x[... a notação ficou um
pouco confusa...)
Como (n*2^1/2)/2 é irracional nós obtemos na expressão acima: - [ -0.abc...
] onde 0.abc é uma fração maior que 0. E isso se reduz ao valor 1.
Fazendo operações similares pra n ímpar concluímos que:
-1/2 - [ (n * 2^1/2)/2 - ](n * 2^1/2 + 1)/2[ ] (aqui eu usei o fato de que
(n+1)/2 é inteiro e compensei de acordo)
Esse valor não pode ser inteiro já que a expressão entre [ ] vai resultar
em um número inteiro que será subtraído de -1/2.
--
[]'s
Lucas
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Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Oi Luís, Seja M o ponto médio de BC e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove inicialmente que AM= 2.OM e aplique Pitágoras no triângulo OMC, por exemplo. Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? Para provar que AM = 2.OM , pense no alinhamento que existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... . Abraços Carlos Victor Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda,c~oes, Como provar a relação abaixo? R^2=(BC^2+AH^2)/4 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de cálculo simbólico ? Obrigado. Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4
Oi Luís, digitei errado. Onde está AM lê-se AH, ok ? Desculpe o engano... Carlos Victor Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu: Oi Luís, Seja M o ponto médio de BC e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove inicialmente que AM= 2.OM e aplique Pitágoras no triângulo OMC, por exemplo. Daí sai legal a relação que tu queres, ok ? Para provar que AM = 2.OM , pense no alinhamento que existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... . Abraços Carlos Victor Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda,c~oes, Como provar a relação abaixo? R^2=(BC^2+AH^2)/4 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas: B=(0,0) C=(a,0) H=(h,y_H) A=(h,y_A) Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R. As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de cálculo simbólico ? Obrigado. Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade Condicional
Olha, o enunciado estah mal escrito... aquelas percentagens tem que ser melhor definidas: 20% do que? 40% do que? De toda a populacao? De todos os testes? Na interpretacao mais literal, seria de todos os testes, e entao os numeros nao fazem sentido (70% sao doentes; 40% sao falsos positivos, ou seja, gente saudavel que testou +; soh ai jah tem 110%, e nem contamos os negativos corretos). Entao vou na interpretacao usual, que eh: -- 70% de probabilidade de ter a doenca; -- SE ELE FOR DOENTE, 20% de chance de dar negativo; ou seja, 20% ***dos doentes*** recebem - no teste (incorretamente); -- SE ELE FOR SAUDAVEL; 40% de chance de dar positivo; ou seja, 40% ***dos saudaveis*** recebem + no teste (erradamente). Na notacao usual, seria: Pr(Doente)=0.7 Pr(A-|Doente)=0.2 Pr(A+|Nao Doente)=0.4 Entao monto uma tabela assim Doente Nao Doente Total A+ 56% 12%68% A- 14% 18%32% Total 70% 30% 100% (Note a ordem da montagem -- comece pelo 70/30; 20% de 70% eh aquele 14%; 40% de 30% eh os 12%; depois complete por somas e diferencas). Entao, se o cara testou + no Teste A, ele eh um dos 68%; a chance de ele estar de fato doente eh 56/68. Para o Teste B, faca o mesmo -- mas COMO VOCE SABE QUE ELE TESTOU + no TESTE A, voce comeca deste 56/68. A tabela fica assim Doente Nao Doente Total B+50.4% 1.2% 51.6% B- 5.6% 10.8% 16.4% Total 56%12% 68% TODO MUNDO NESTA TABELA TESTA + EM A. Entao o numero que voce quer eh 50.4/51.6 ~= 97.67% -- eh a probabilidade do cara ter a doenca, SABENDO que ele testou + em A e em B. Abraco, Ralph 2014-02-12 19:34 GMT-02:00 João Sousa starterm...@hotmail.com: Gostaria de auxílio para a resolução da questão abaixo. Após análise de sintomatologia, um médico estima que seu paciente tenha uma determinada doença com probabilidade de 70%. Para confirmar o diagnóstico inicial, ele pede ao paciente que faça um exame tipo A, que dá falso negativo com probabilidade de 20% e falso positivo com probabilidade de 40%. O resultado desse exame dá positivo. Entretanto, desconfiado com a alta frequência de falso positivo do exame tipo A, o médico pede novamente que o paciente se submeta a um exame tipo B, cujas probabilidades de falso positivo e falso negativo são ambas de 10%, independentemente dos resultados do teste A. Novamente o resultado do teste tipo B é positivo. Qual a probabilidade de que o paciente tenha de fato a doença condicionada aos dois resultados dos exames tipo A e B? João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
