Re: [obm-l] Lista 4 Cone Sul 2008
2014-05-20 8:05 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-05-19 23:13 GMT-03:00 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Ah, é claro! Uma desigualdade deve resolver! n! cresce muito mais rápido que n^2007, então f é estritamente decrescente e negativa a partir de certo ponto. Assim ela é certamente injetiva daí, pois ab daria f(a)f(b). f(a) f(b), mas é isso. O problema agora é antes deste ponto... Bom, usando Stirling, n! n^2007 mais ou menos para n ~ 2007. Mais exatamente, n! n^n / e^n, e esse último é n^2007 = n^(n - 2007) e^n = (n - 2007) log(n) n = x * log(x + 2007) 2007 + x Como log(2000) log(729) = log(3^6) 6 log(3) 6, basta 6x 2007 + x ou seja x 2007/5 = 401 Restam 2500 casos para fazer na mão ;-)) Bom, juntando as idéias de divisibilidade e assintótico, sai. Suponha que 0 = b a 2500, que é o único caso que resta. Se b não divide a, mas f(b) = f(a), temos b^2007 - b! = a^2007 - a! = a! - b! + b^2007 = a^2007. Como b divide a! (pois a b), isso dá b | a^2007. Assim, os fatores primos de b aparecem nos fatores primos de a. Bom, vamos nos livrar de um caso simples: b = 1. Ou seja, não existe a 1 tal que a^2007 = a!: Note que (a-1) divide a! (e a-1 diferente de zero pela nossa hipótese da ordem do a e do b). Mas (a-1) é primo com a. Logo ele não divide a^2007. Assim, temos que a = AC e b = BC, onde A e B são primos entre si, C é um fator comum maior do que 1 (por isso que a gente se livrou do caso b = 1 antes). Rearrumando as coisas, temos (AC)! - (BC)! = C^2007 * (A^2007 - B^2007), logo C^2007 divide (AC)! - (BC)!. Como A B, temos que C divide (AC)!/(BC)! = AC * (AC -1) * ... * (AC - BC + 1), logo C não divide (AC)!/(BC)! - 1. Note que isso vale, na verdade, para qualquer fator primo (digamos p) de C. Assim, p^2007 divide (AC)! - (BC)! = (BC)! [ (AC)! / (BC)! - 1 ], logo p^2007 divide (BC)! = b!. Ou seja, se p é um fator de b, p^2007 divide b! Mas qualquer primo p aparece menos de b vezes em b!, para qualquer b: esse número de vezes é igual a [b/p] + [b/p^2] + ... + [b/p^n] + ... onde a soma é finita (alguma hora, p^n b, e as partes inteiras vão dar zero). Essa soma também é menor do que b/p * (1/(1-1/p)) (soma da PG sem as partes inteiras) = b / (p - 1) = b (e só poderia ser igual quando p = 2, e nesse caso, o mais próximo que chega é (b-1) porque a série é finita, e precisa de termos fracionários para dar exatamente b/(p-1)). Agora, note que a 2500, e a = AC, com C 1, implica que a 1250. Idem para b a. Assim, p aparece no máximo 1250 vezes em b!, o que é absurdo pois queríamos que p^2007 | b! Talvez tenha algo sem usar explicitamente o 2007 e as estimativas de Stirling, mas saiu ! Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lista 4 Cone Sul 2008
Só tem que lembrar que Stirlinbg é pesado demais pra galera. Talvez uma desigualdade mais bobinha que saia com indução... Em 21 de maio de 2014 11:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-05-20 8:05 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-05-19 23:13 GMT-03:00 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Ah, é claro! Uma desigualdade deve resolver! n! cresce muito mais rápido que n^2007, então f é estritamente decrescente e negativa a partir de certo ponto. Assim ela é certamente injetiva daí, pois ab daria f(a)f(b). f(a) f(b), mas é isso. O problema agora é antes deste ponto... Bom, usando Stirling, n! n^2007 mais ou menos para n ~ 2007. Mais exatamente, n! n^n / e^n, e esse último é n^2007 = n^(n - 2007) e^n = (n - 2007) log(n) n = x * log(x + 2007) 2007 + x Como log(2000) log(729) = log(3^6) 6 log(3) 6, basta 6x 2007 + x ou seja x 2007/5 = 401 Restam 2500 casos para fazer na mão ;-)) Bom, juntando as idéias de divisibilidade e assintótico, sai. Suponha que 0 = b a 2500, que é o único caso que resta. Se b não divide a, mas f(b) = f(a), temos b^2007 - b! = a^2007 - a! = a! - b! + b^2007 = a^2007. Como b divide a! (pois a b), isso dá b | a^2007. Assim, os fatores primos de b aparecem nos fatores primos de a. Bom, vamos nos livrar de um caso simples: b = 1. Ou seja, não existe a 1 tal que a^2007 = a!: Note que (a-1) divide a! (e a-1 diferente de zero pela nossa hipótese da ordem do a e do b). Mas (a-1) é primo com a. Logo ele não divide a^2007. Assim, temos que a = AC e b = BC, onde A e B são primos entre si, C é um fator comum maior do que 1 (por isso que a gente se livrou do caso b = 1 antes). Rearrumando as coisas, temos (AC)! - (BC)! = C^2007 * (A^2007 - B^2007), logo C^2007 divide (AC)! - (BC)!. Como A B, temos que C divide (AC)!/(BC)! = AC * (AC -1) * ... * (AC - BC + 1), logo C não divide (AC)!/(BC)! - 1. Note que isso vale, na verdade, para qualquer fator primo (digamos p) de C. Assim, p^2007 divide (AC)! - (BC)! = (BC)! [ (AC)! / (BC)! - 1 ], logo p^2007 divide (BC)! = b!. Ou seja, se p é um fator de b, p^2007 divide b! Mas qualquer primo p aparece menos de b vezes em b!, para qualquer b: esse número de vezes é igual a [b/p] + [b/p^2] + ... + [b/p^n] + ... onde a soma é finita (alguma hora, p^n b, e as partes inteiras vão dar zero). Essa soma também é menor do que b/p * (1/(1-1/p)) (soma da PG sem as partes inteiras) = b / (p - 1) = b (e só poderia ser igual quando p = 2, e nesse caso, o mais próximo que chega é (b-1) porque a série é finita, e precisa de termos fracionários para dar exatamente b/(p-1)). Agora, note que a 2500, e a = AC, com C 1, implica que a 1250. Idem para b a. Assim, p aparece no máximo 1250 vezes em b!, o que é absurdo pois queríamos que p^2007 | b! Talvez tenha algo sem usar explicitamente o 2007 e as estimativas de Stirling, mas saiu ! Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Lista 4 Cone Sul 2008
2014-05-21 13:11 GMT-03:00 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Só tem que lembrar que Stirlinbg é pesado demais pra galera. Talvez uma desigualdade mais bobinha que saia com indução... Bom, a demonstração funciona com b 2007, ou seja, podemos ter até a = 2*2007, ou seja, tem que mostrar que f(n) = n^2007 - n! é decrescente e negativa para n 4000. Vou deixar você achar a desigualdade por indução ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Equações Funcionais
O problema nao forneceu a forma implícita que deveríamos trabalhar ele dizia apenas isso.. Mas eu acredito que seja isso mesmo que você relacionou.. Em terça-feira, 20 de maio de 2014, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Ou seja, se a+c=2b então f(a)*f(b)=f(c)^2? Em 17 de maio de 2014 13:45, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.comjavascript:_e(%7B%7D,'cvml','jefersonram...@gmail.com'); escreveu: Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica. Desde já agradeço qualquer ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
