Só tem que lembrar que Stirlinbg é pesado demais pra galera. Talvez uma desigualdade mais bobinha que saia com indução...
Em 21 de maio de 2014 11:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2014-05-20 8:05 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa > <bernardo...@gmail.com>: > > 2014-05-19 23:13 GMT-03:00 terence thirteen <peterdirich...@gmail.com>: > >> Ah, é claro! Uma desigualdade deve resolver! > >> > >> n! cresce muito mais rápido que n^2007, então f é estritamente > decrescente e > >> negativa a partir de certo ponto. Assim ela é certamente injetiva daí, > pois > >> a>b daria f(a)>f(b). > > > > f(a) < f(b), mas é isso. > > > >> O problema agora é antes deste ponto... > > > > Bom, usando Stirling, n! > n^2007 mais ou menos para n ~ 2007. Mais > exatamente, > > > > n! > n^n / e^n, e esse último é > n^2007 <=> n^(n - 2007) > e^n <=> (n > > - 2007) log(n) > n <=> x * log(x + 2007) > 2007 + x > > Como log(2000) > log(729) = log(3^6) > 6 log(3) > 6, basta 6x > 2007 + > > x ou seja x > 2007/5 = 401 > > > > Restam 2500 casos para fazer na mão ;-)) > > Bom, juntando as idéias de divisibilidade e assintótico, sai. > > Suponha que 0 <= b < a < 2500, que é o único caso que resta. > > Se b não divide a, mas f(b) = f(a), temos b^2007 - b! = a^2007 - a! => > a! - b! + b^2007 = a^2007. Como b divide a! (pois a > b), isso dá b | > a^2007. Assim, os fatores primos de b aparecem nos fatores primos de > a. > > Bom, vamos nos livrar de um caso simples: b = 1. Ou seja, não existe a > > 1 tal que a^2007 = a!: Note que (a-1) divide a! (e a-1 diferente de > zero pela nossa hipótese da ordem do a e do b). Mas (a-1) é primo com > a. Logo ele não divide a^2007. > > Assim, temos que a = AC e b = BC, onde A e B são primos entre si, C é > um fator comum maior do que 1 (por isso que a gente se livrou do caso > b = 1 antes). > > Rearrumando as coisas, temos (AC)! - (BC)! = C^2007 * (A^2007 - > B^2007), logo C^2007 divide (AC)! - (BC)!. Como A > B, temos que C > divide (AC)!/(BC)! = AC * (AC -1) * ... * (AC - BC + 1), logo C não > divide (AC)!/(BC)! - 1. Note que isso vale, na verdade, para qualquer > fator primo (digamos p) de C. Assim, p^2007 divide (AC)! - (BC)! = > (BC)! [ (AC)! / (BC)! - 1 ], logo p^2007 divide (BC)! = b!. Ou seja, > se p é um fator de b, p^2007 divide b! > > Mas qualquer primo p aparece menos de "b vezes" em b!, para qualquer > b: esse número de vezes é igual a > > [b/p] + [b/p^2] + ... + [b/p^n] + ... > > onde a soma é finita (alguma hora, p^n > b, e as partes inteiras vão > dar zero). Essa soma também é menor do que > > b/p * (1/(1-1/p)) (soma da PG sem as partes inteiras) = b / (p - 1) <= > b (e só poderia ser igual quando p = 2, e nesse caso, o mais próximo > que chega é (b-1) porque a série é finita, e precisa de termos > fracionários para dar exatamente b/(p-1)). > > Agora, note que a < 2500, e a = AC, com C > 1, implica que a < 1250. > Idem para b < a. Assim, p aparece no máximo 1250 vezes em b!, o que é > absurdo pois queríamos que p^2007 | b! > > > Talvez tenha algo sem usar explicitamente o 2007 e as estimativas de > Stirling, mas saiu ! > > Abraços > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
