2014-07-05 2:35 GMT+02:00 Merryl :
> Seja f:I --> R contínua no ponto a do intervalo aberto I. Suponhamos que
> para todas sequências (x_n) e (y_n) em I tais que
>
> (x_n) seja crescente e convirja para a
>
> (y_n) seja decrescente e convirja para a
>
> x_n < a < y_n para todo n
>
> exista um mesmo real L para o qual convirjam os quocientes ((f(y_n) -
> f(x_n))/(y_n - x_n)).
>
> Mostre que f é diferenciável em a e que f'(a) = L
Bom, como o Ralph e o Artur já demonstraram, eu não vou escrever a
minha versão, mas apenas comentar para você tentar fazer sozinha sem
copiar as soluções deles, o que é a melhor maneira de aprender.
Essa questão tem vários problemas. O maior é que você tem informação
para "o limite de toda sequência" e você gostaria de ter uma
informação numa vizinhança. Por assim dizer, um problema de
"uniformizar" / "juntar" todos os limites x_n -> a numa coisa que é
válida para |x - a| < epsilon. Esse foi o esforço principal do Artur,
que matou o problema no lema que ele mostrou.
O outro problema é que tem variáveis demais, e isso pode atrapalhar.
Note que você pode supor, sem perda de generalidade, que
* a = 0
* f(a) = 0
* L = 0
Nada disso vai resolver o problema, mas pode "limpar a área" e ajudar
a fazer a parte de cima mais rápido. Isso é justificado com uma
mudança de variáveis (e funções) da seguinte forma: em vez de f(x),
considere a função
g(x) = f(x + a) - f(a) - L*x.
Veja que isso corresponde ao "resto da aproximação linear" quando você
considera a derivada como a melhor reta que aproxima a sua função.
Aliás, para muitos problemas "fundamentais" de derivada, é sempre
MUITO poderoso usar a formulação f(x + a) = f(a) + f'(a)*x +
resto(x,a), onde resto(x,a)/x -> 0 quando x -> 0.
Isso feito, a minha demonstração (que é mais ou menos a do Artur "ao
contrário") é assim:
A) Mostre que para y_n -> 0 (decrescente) é sempre verdade que
f(y_n)/y_n -> 0, usando uma sequência x_n tal que |f(x_n)| < 1/2 *
|f(y_n)|, e |x_n| < |y_n| (que existe pela continuidade de f em 0).
B) O passo de "uniformizar" : suponha por absurdo (como todos fizeram
até aqui, estou ainda tentando achar uma versão direta) que a derivada
não seja L, isso dá uma sequência SPG decrescente (como fez o Ralph)
y_n -> 0 tal que f(y_n) é "grande". De novo usando o truque " |f(x_n)|
< 1/2 * |f(y_n)|, e |x_n| < |y_n| ", isso dá um par de sequências x_n
< 0 < y_n onde o limite não vai dar zero, absurdo.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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