Re: [obm-l] Problema de encaixotamento de esferas:
Ola' Fabio, as esferas devem ficar em uma das diagonais principais da caixa. Assim, elas sao tangentes em um ponto sobre essa diagonal, de modo que seus centros distam 7+8=15 cm entre si. Alem disso, o centro de cada esfera fica a uma certa distancia do vertice mais proximo. Essas distancias sao sqrt( r^2 + r^2 + r^2 ) = r*sqrt(3) , ou seja, 7*sqrt(3) cm e 8*sqrt(3) cm Logo, a distancia entre os vertices opostos da caixa mede 15*(1+sqrt(3)) cm Portanto, a aresta mede 15*(1+sqrt(3)) /sqrt(3) cm , ou seja, 15+5*sqrt(3) cm []'s Rogerio Ponce 2014-10-12 9:50 GMT-03:00 FaBio Honorato fabinho...@hotmail.com: Bom dia pessoal, gostaria de compartilhar com vocês a seguinte questão: Para que uma caixa cúbica, com tampa, possa guardar juntas duas esferas de raios 7 cm e 8 cm, suas arestas devem medir, em cm, pelo menos: Abraços -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Intervalo no qual f é crescente
Obrigada a todos. Então, supondo-se apenas diferenciabilidade, a afirmação é falsa. Em 13/10/2014, às 21:36, Ary Medino arymed...@yahoo.com.br escreveu: Caros(as) colegas A menos de um conjunto de probabilidade nula, as trajetórias do movimento Browniano unidimensional em [0, +infinito) tem propriedades tais como continuidade, não diferenciabilidade, não-monotonicidade em nenhum subintervalo, conjunto dos máximos locais enumerável e denso em [0, +infinito) e todos os máximos locais são estritos, entre outras. Mais informações podem ser obtidas, por exemplo, em Brownian Motion and Stochastic Calculus, Karatzas and Shreve, 1998, Springer, seção 2.9 (The Brownian Sample Paths) páginas de 103 a 116. Att Ary Em Segunda-feira, 13 de Outubro de 2014 20:42, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Eu nao chequei, mas aqui estah uma possibilidade de resposta, pp.13-19: http://scholarworks.gsu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1043context=math_theses 2014-10-13 19:39 GMT-03:00 Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Oi amigos, Vamos analisar a seguinte afirmação: Suponhamos que a função real f seja contÃnua no intervalo [a, b] e que f(a) f(b). Existe então um subintervalo de [a, b] no qual f é crescente. Embora isto aparentemente seja verdade, me garantiram que é falso, mas não tenho um contra exemplo. Alguém pode ajudar? Ou a afirmação é mesmo verdadeira? Se for, a prova parece difÃcil. Vamos agora substituir contÃnua por diferenciável. Pelo teorema do valor médio, existe então u em (a, b) tal que f'(u) = (f(b) - f(a)/(b - a) 0. Se admitirmos que f' é contÃnua, então existe um subintervalo I de [a, b] contendo u no qual f' é positiva, o que implica que f seja estritamente crescente em I. Logo, a afirmação torna-se verdadeira. Na realidade, para tanto basta admitir que f' é contÃnua em algum u com f'(u) 0. E ao menos um deles existe Mas, e se tudo que assumirmos é que f é diferenciável? Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Provar que D = {x | f(x-) =! f(x+)} é enumerável
A ideia é a seguinte, vou fazer com uma função particular mas pode ser adaptado para o caso geral: vamos tomas a função que assume apenas os valores 0 ou 1. Se o limite de x tendendo a t pela esquerda é 1, então existe um e(t)0 tq se x pertence a (t-e(t), t) então f(x)=1. Então suponha que o conjunto D das descontinuidades de f seja não enumerável, temos então que a soma dos e(t) com t pertencente a D é no máximo 1. Isto gera absurdo, pois é fácil provar que a soma de uma quantidade não enumerável de números positivos não pode ser finita. Agora basta fazer algumas adaptações e provar alguns fatos. Em 13 de outubro de 2014 20:01, Amanda Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Oi amigos, podem ajudar nisto aqui? Seja f uma função real definida em (a, b) e D o conjunto dos pontos de (a, b) no qual f apresenta descontinuidade do tipo salto (os limites à direita e à esquerda existem em R e são diferentes). Mostre que D é enumerável. Obrigada Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Provar que D = {x | f(x-) =! f(x )} é enumerável
Uma possível prova, seguindo a linha sugerida no livro do Rudin, em um de seus
exercícios, é a seguinte:br/br/Temos que D = D1 U D2, sendobr/br/D1 =
{x | f(x-) f(x+)} e D2 = {x | f(x-) f(x+)}br/br/Vamos mostrar que D1 e
D2 são enumeráveis, o que implica que D também seja. Vamos mostrar para D1. O
caso de D2 é similar.br/br/Se D1 for vazio, é enumerável. Se não for,
tomemos um x genérico no mesmo e escolhamos um racional p entre f(x-) e f(x+).
Considerando a definição do limite f(x-) e o fato de que Q é denso em R,
podemos escolher um racional q em (a, x) tal que f(t) p para t em (q, x).
Aplicando o mesmo raciocínio à direita de x, vemos que existe uma terna (p, q,
r) de racionais, com q em (a, x) e r em (x, b), tais quebr/br/f(x-) p
f(x+)br/q t x == f(t) pbr/x t r == f(t) pbr/br/Assim, a
cada x de D1 podemos associar uma terna conforme descrito. Vamos agora mostrar
que uma terna (p, q,
r) associada a algum x de D1 não pode ser associada a nenhum elemento de D1
distinto de x.br/br/Suponhamos que (p, q, r) esteja também associada a
algum y de D1 distinto de x. Então y x ou y x. Se y x, então temos que
f(y-) p f(y+) e que x y r. Assim, q x y r. Se t estiver em (x,
y), então:br/br/Como x t r, segue-se da associação a x que f(t) p;
masbr/Como q t y, segue-se da associação a y que f(t) pbr/br/Temos
assim uma contradição que mostra que (p, q, r) não pode ser associada a nenhum
y de D1 maior que x. Por um raciocínio similar, vemos que também não pode ser
associada a nenhum y x de D1. Com isto, construímos uma bijeção entre D1 e um
subconjunto {(p, q, r)} de Q^3. Como Q^3 é enumerável, {(p, q, r)} também é, o
que, pela bijeção, implica que D1 também o seja. br/br/Concluímos, assim,
que D é enumerável.br/br/Agora, este raciocínio não se aplica a
descontinuidades em que o limite exista em x (f(x-) = f(x+)) mas seja
diferente de f(x). Acho que estas descontinuidades não necessariamente formam
um conjunto enumerável.br/br/br/br/Artura
href=https://overview.mail.yahoo.com?.src=iOS;br/br/Enviado do Yahoo Mail
para iPad/a
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar que D = {x | f(x-) =! f(x+)} é enumerável
Uma possível prova, seguindo a linha sugerida no livro do Rudin, em um de seus
exercícios, é a seguinte:
Temos que D = D1 U D2, sendo
D1 = {x | f(x-) f(x+)} e D2 = {x | f(x-) f(x+)}
Vamos mostrar que D1 e D2 são enumeráveis, o que implica que D também seja.
Vamos mostrar para D1. O caso de D2 é similar.
Se D1 for vazio, é enumerável. Se não for, tomemos um x genérico no mesmo e
escolhamos um racional p entre f(x-) e f(x+). Considerando a definição do
limite f(x-) e o fato de que Q é denso em R, podemos escolher um racional q em
(a, x) tal que f(t) p para t em (q, x). Aplicando o mesmo raciocínio à
direita de x, vemos que existe uma terna (p, q, r) de racionais, com q em (a,
x) e r em (x, b), tais que
f(x-) p f(x+)
q t x == f(t) p
x t r == f(t) p
Assim, a cada x de D1 podemos associar uma terna conforme descrito. Vamos agora
mostrar que uma terna (p, q, r) associada a algum x de D1 não pode ser
associada a nenhum elemento de D1 distinto de x.
Suponhamos que (p, q, r) esteja também associada a algum y de D1 distinto de x.
Então y x ou y x. Se y x, então temos que f(y-) p f(y+) e que x y
r. Assim, q x y r. Se t estiver em (x, y), então:
Como x t r, segue-se da associação a x que f(t) p; mas
Como q t y, segue-se da associação a y que f(t) p
Temos assim uma contradição que mostra que (p, q, r) não pode ser associada a
nenhum y de D1 maior que x. Por um raciocínio similar, vemos que também não
pode ser associada a nenhum y x de D1. Com isto, construímos uma bijeção
entre D1 e um subconjunto {(p, q, r)} de Q^3. Como Q^3 é enumerável, {(p, q,
r)} também é, o que, pela bijeção, implica que D1 também o seja.
Concluímos, assim, que D é enumerável.
Agora, este raciocínio não se aplica a descontinuidades em que o limite exista
em x (f(x-) = f(x+)) mas seja diferente de f(x). Acho que estas
descontinuidades não necessariamente formam um conjunto enumerável.
Artur Costa Steiner
Em 13/10/2014, às 20:01, Amanda Merryl sc...@hotmail.com escreveu:
Oi amigos, podem ajudar nisto aqui?
Seja f uma função real definida em (a, b) e D o conjunto dos pontos de (a,
b) no qual f apresenta descontinuidade do tipo salto (os limites à direita e
à esquerda existem em R e são diferentes). Mostre que D é enumerável.
Obrigada
Amanda
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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