Bem, para a bijeção só falta mostrar a injeção, suponha por absurdo x0, e x real tais
que para todo n natural,
|g(x)-g(y)|>e, para |x-y|<1/n. Então vc faz x=f(a) e y=f(bn), onde a
sequência bn é divergente, assim fica:
|a-bn|>e (já que bn diverge) além disso |f(a)-f(bn)|<1/n, o que implica que
f(bn) converge para f(a), gerando um absurdo.
Talvez haja algum erro bobo que precise ser corrigido, mas acho q é isso.
Em 27 de fevereiro de 2015 08:37, Gabriel Lopes
escreveu:
> *Gostaria de ajuda com a seguinte questão vinda da Romênia , acho que da
> olimpíada (o livro não especifica qual olímpíada e qual ano) :
>
> - Seja f: R --> R uma função sobrejetiva , satisfazendo a seguinte
> propriedade : para toda sequência divergente (a_n) , n > = 1 , a sequência
> (f(a_n)) , n> = 1 , também é divergente . Prove que f é bijetiva e que
> sua função inversa f^(-1) é contínua.
>
> *O livro oferta a seguintes dicas :
>
> 1.(Para provar que f é bijetiva) Tome x,y em R distintos e considere
> (a_n) ,n > = 1 , a sequência divergente tal que a_2k = x e a_2k-1 = y ,
> para todo k > = 1 , e utilize a segunda hipótese do enunciado .
>
> * Aqui deduzimos que existe e > 0 tal que para todo n* em N temos: m,n
> > n*, m > n , então | f(a_m) - f(a_n) | = | f(x) - f(y) | > = e ;
> pela relação entre sequências convergentes e sequências de Cauchy , e
> então negando a afirmação : ( f(a_n) ) ,n > =1 , é convergente .
>
> 2.(Para provar que f^(-1) é contínua) Use as Hipóteses sobre f para
> mostrar que f^(-1) transforma sequências convergentes em sequências
> convergentes.
>
> *Parei por aqui mas os seguintes comentários são pertinentes :
>
> I. O capítulo do livro em que tirei este problema fala sobre
> Continuidade Sequencial e prova o seguinte TMA : Uma função f: I --> R
> , onde I é um intervalo, é contínua se , e só se , a seguinte condição for
> satisfeita : para todo a em I e toda sequência (a_n),n > = 1, de
> elementos de I , temos : lim(a_n) = a , então lim( f(a_n) ) = f(a)
> . (não consegui só com ele)
>
> II. Procurei sobre o TMA em outro livro ,Curso de Análise Vol.1 Elon
> Lages , Capítulo VII , e encontrei o seguinte corolário : A fim de que f
> seja contínua no ponto a , é suficiente que , para toda sequência de
> pontos a_n de X ( creio que X é uma união de Intervalos) com lim(
> a_n ) = a , exista lim( f(a_n) ) . O mesmo não foi demonstrado
> ,e também não consegui faze-lo , mas acho que ele é suficiente para
> resolver a questão.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.