[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6
Boa tarde! 8^1 = 2 mod6 8^2 = 4 mod6 8^3 = 2 mod6 Então 8^k=2 mod6 se k ímpar e 8^k=4 mod6 se k par. Portanto 8^k + 8^(k+1) = 0 mod6. Então só sobra 8^15, como 15 é impar ==> resto = 2. Saudações, PJMS Em 19 de setembro de 2016 11:05, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier > escreveu: > > Prezados amigos, > > > > como resolver o seguinte problema: > > > > Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6? > > É óbvio que podemos substituir o 8 por 2 (já que 8-6=2). > > E é mais óbvio ainda que esse carinha é par. Vamos então nos preocupar > em calcular o resto de 2+2^2+...+2^15 módulo 3. > > Usando PG, esta soma é igual a 2^16-2=4^8-2; como 4^8 deixa resto 1, > 4^8-2 deixa resto 2. > > Assim, este número deixa resto 2 módulo 3 e resto 0 módulo 2. Logo, > deixará resto 2 módulo 6. > > > > > Grato pela ajuda. > > > > Marcos Xavier > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] letras do indice
Em 30 de maio de 2016 17:03, saulo nilson escreveu: > i e j são usados para medir contagens em somatórios, talvez seja por isso. > > 2016-05-27 16:26 GMT-03:00 Mauricio de Araujo > : >> >> i por causa da palavra index? j por causa da proximidade com o i? eu não >> sei... Não há muitas razões além dessa, imagino. O mesmo com outras notações: p para número primo, q como outro primo; a,b,c números conhecidos ou lados de triângulo, x,y,z para desconhecidos p,q,r para média ponderada... >> >> Em 27 de maio de 2016 14:59, escreveu: >>> >>> Meus amigos um aluno me perguntou pq usamos i j para índice. >>> >>> Alguém sabe a razão? Abraços >>> >>> Hermann >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> -- >> >> Abraços, >> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra dúvida
Em 10 de junho de 2016 00:59, Ralph Teixeira escreveu: > Acho que eles querem que voce pense assim: quanto mais "aberto" eh o > cone, maior eh a area lateral. Entao a maior area lateral possivel > seria o caso degenerado onde o cone estah tao aberto que eh, de fato, > um disco, que teria area pi. Mas eles querem o maior INTEIRO possivel > para a area, que seria portanto 3. > > Agora, nao entendo porque mencionaram o volume desse cone... Para dar um ar de problema prático, não? Ou para dizer que o volume é necessariamente positivo - e não um caso degenerado de um discão, que não é um objeto com volume... > > Abraco, Ralph. > > 2016-06-10 0:35 GMT-03:00 Daniel Rocha : >> Olá Carlos, >> >> Eu também achei o enunciado estranho, pois ele não dá o valor do volume. >> >> Eu tirei essa questão de um livro. Talvez tenha havido erro de impressão no >> livro ou erro na prova de vestibular em que essa questão caiu. >> >> Mas o enunciado é esse mesmo. >> >> Em 9 de junho de 2016 19:45, Carlos Gomes escreveu: >>> >>> Vamos lá...Daniel o seu enunciado tá estranho não quer conferi-lo para >>> nós? >>> >>> >>> >>> Em 9 de junho de 2016 19:26, Daniel Rocha >>> escreveu: Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: Calculou-se o volume de um cone reto de geratriz 1 e área lateral k. O maior valor inteiro que k pode assumir é: GABARITO: 3 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Projeção Ortogonal
Em 25 de maio de 2016 05:40, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > 2016-05-24 22:34 GMT-03:00 Kelvin Anjos : >> A projeção ortogonal de uma parábola sempre será congruente à sua diretriz, > > Essa frase eu entendi, mas gostaria de uma demonstração. > >> isto é, a projeção será a reta coincidente ao eixo paralelo à sua diretriz >> em coordenadas cartesianas. > > A projeção não devia ser uma reta ortogonal à direção de projeção? > (Que não precisa ter relação com a diretriz?) Sei lá, imagine que você > está projetando na reta x=y. > > > > Ainda acho que falta deixar o enunciado mais claro... > Fonte, após meio minuto de Gúgou: http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/4132.htm Então, não. Na melhor hipótese, uma parábola pode ser projetada numa reta, não num segmento. > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Bom dia! Como q é arbitrário, já fura para q=1, pL escreveu: > > > Em 23 de julho de 2016 23:43, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> >> Dados p e q arbitrários, eu sempre posso fazer a escolha sem perda de >> generalidade >> [image: Imagem inline 3] >> com o diferente de u? >> > > > E eu lá sei? > Depende do seu problema original. Não é todo dia que a gente consegue uma > "sem perda de generalidade" para encerrar um problema. > > Teve um problema da OBM universitária, por exemplo, um bem famoso que já > até passou aqui pela lista, que pedia para demonstrar que as oito retas > tangentes a duas elipses nos quatro pontos de intersecção das duas eram > tangentes a uma terceira elipse. > A solução, basicamente, era demonstrar que "sem perda de generalidade é > possível considerar que ambas as elipses estão centradas na origem e seus > eixos são paralelos aos eixos coordenados". É uma solução dramática e > sensacional, mas a ideia é basicamente essa, convencer que aquele caso > particular representa todos os casos gerais. > > Um exemplinho básico: a desigualdade das médias. Suponha que se quer > demonstrar que (a^2+b^2) >= 2ab. Podemos ver que, se substituirmos a por > a/R e b por b/R, a desigualdade mantém a sua forma (os Rs simplificam-se). > Assim, podemos dar a R o valor que quisermos - em especial, podemos > escolher R tal que (a/R)*(b/R)=1, e nos concentrarmos em resolver o > problema acima apenas nos casos em que ab=1. > Com isso, o problema fica mais fácil: a^2+b^2 >=2 SSE a^2+1/a^2 >= 2 SSE > a^4-2a^2+1 >= 0 SSE (a^2-1)^2 >=0 > > No fim, cabe a você demonstrar que sua suposição pode ser devidamente > mapeada para todos os casos que seu problema original trata. Se você > conseguir demonstrar isso, ainda vai ter o trabalho de finalizar o problema > com a nova forma, mas normalmente isso vai levar menos tempo e esforço do > que a forma original. > > Espero ter sido claro :) > > > > > > > >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Resto da Divisão por 6
Em 7 de julho de 2016 11:59, Marcos Xavier escreveu: > Prezados amigos, > > como resolver o seguinte problema: > > Qual o resto obtido ao dividirmos 8^1 + 8^2 + 8^3 + ... + 8^15 por 6? É óbvio que podemos substituir o 8 por 2 (já que 8-6=2). E é mais óbvio ainda que esse carinha é par. Vamos então nos preocupar em calcular o resto de 2+2^2+...+2^15 módulo 3. Usando PG, esta soma é igual a 2^16-2=4^8-2; como 4^8 deixa resto 1, 4^8-2 deixa resto 2. Assim, este número deixa resto 2 módulo 3 e resto 0 módulo 2. Logo, deixará resto 2 módulo 6. > > Grato pela ajuda. > > Marcos Xavier > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Em 23 de julho de 2016 23:43, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > > Dados p e q arbitrários, eu sempre posso fazer a escolha sem perda de > generalidade > [image: Imagem inline 3] > com o diferente de u? > E eu lá sei? Depende do seu problema original. Não é todo dia que a gente consegue uma "sem perda de generalidade" para encerrar um problema. Teve um problema da OBM universitária, por exemplo, um bem famoso que já até passou aqui pela lista, que pedia para demonstrar que as oito retas tangentes a duas elipses nos quatro pontos de intersecção das duas eram tangentes a uma terceira elipse. A solução, basicamente, era demonstrar que "sem perda de generalidade é possível considerar que ambas as elipses estão centradas na origem e seus eixos são paralelos aos eixos coordenados". É uma solução dramática e sensacional, mas a ideia é basicamente essa, convencer que aquele caso particular representa todos os casos gerais. Um exemplinho básico: a desigualdade das médias. Suponha que se quer demonstrar que (a^2+b^2) >= 2ab. Podemos ver que, se substituirmos a por a/R e b por b/R, a desigualdade mantém a sua forma (os Rs simplificam-se). Assim, podemos dar a R o valor que quisermos - em especial, podemos escolher R tal que (a/R)*(b/R)=1, e nos concentrarmos em resolver o problema acima apenas nos casos em que ab=1. Com isso, o problema fica mais fácil: a^2+b^2 >=2 SSE a^2+1/a^2 >= 2 SSE a^4-2a^2+1 >= 0 SSE (a^2-1)^2 >=0 No fim, cabe a você demonstrar que sua suposição pode ser devidamente mapeada para todos os casos que seu problema original trata. Se você conseguir demonstrar isso, ainda vai ter o trabalho de finalizar o problema com a nova forma, mas normalmente isso vai levar menos tempo e esforço do que a forma original. Espero ter sido claro :) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas questões de matemática.
Em 10 de agosto de 2016 13:45, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Peguei um livro antigo do ginásio e a definição que lá consta é para dois > ângulos. > Mas como as coisas mudam. Pesquisei em sítios do Brasil, EUA e França, todas > as definições são para dois ângulos. > Já que se está falando em definições, quando estudava Análise no científico, > Z+ incluía o 0 e Z+* não incluía o 0, se chamavam, inteiros positivos e > inteiros estritamente positivos (o asterisco simbolizava a exclusão do 0). > Atualmente Z+ já exclui o 0. > Alguém saberia dizer, quando e o porquê da mudança? Sei lá! Do pouco que sei, na França por exemplo eles consideram o 0 como sendo um número tanto positivo quanto negativo. Aqui no BR uma prova de olimpíada só precisaria dizer "considere os inteiros estritamente positivos" para excluir o zero, e lá teria que dizer "os inteiros maiores que zero" ou "positivos distintos de zero". Mas, até onde eu bem sei, o * é o indicativo de exclusão do 0. Sem ele, pressupõe-se o zero no conjunto. > > Saudações, > PJMS > > Em 8 de agosto de 2016 18:53, Rogerio Ponce escreveu: >> >> Ola' Douglas, a questao me parece perfeita. >> Como as opcoes de resposta sao positivas, queremos a menor quantidade de >> derrotas (ou seja, a maior quantidade de vitorias), que leve ao mesmo total >> de premios. >> Portanto, estamos falando das derrotas de maior valor (foram as 4 >> ultimas), acompanhadas por uma com o valor necessario para completar a soma >> total. >> Se considerassemos as 5 ultimas derrotas, o valor total seria >> ultrapassado. >> So' pode ser a letra "E". >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> 2016-08-08 16:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima >> : >>> >>> Olá amigos, gostaria de uma ajuda em uma filosofia e uma questão. >>> >>> 1)Na definição de ângulos suplementares, seria para dois ângulos ou pode >>> ser para mais de dois? >>> >>> 2)(Essa questão gostaria de saber se está mal elaborada) Carlos e Ricardo >>> disputaram 15 partidas de boliche e ao fim de cada partida o perdedor pagava >>> um prêmio em dinheiro para o vencedor. O prêmio para a primeira partida foi >>> R$ 15,00 e o prê- mio de cada partida seguinte foi R$ 5,00 a mais do que o >>> valor da partida anterior. Ao final da disputa, ambos receberam o mesmo >>> valor em dinheiro e nenhuma partida terminou empatada. Nes- sas condições, a >>> maior diferença possível entre as vitórias e as derrotas de Ricardo é >>> (A) 4. (B) 3. (C) 7. (D) 6. (E) 5. >>> >>> Att: Douglas Oliveira. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de vetores
Em 21 de agosto de 2016 00:59, Henrique N. Lengler escreveu: > Olá, > > Estou estudando vetores pelo livro "Vetores e uma iniciação à Geometria > Analítica" de Dorival A. de Mello e Renate Watanabe. > > Encontrei uma questão simples, mas que me deixou de cabelo em pé. Eu consegui > resolver, mas de uma maneira meio feia. > > A questão é: *.Obs: Todas as duplas de letras são vetores. > > > -- > Em um triângulo ABC, o ponto M é tal que 3 BM = 5 MC. Escreva o vetor AM em > função dos vetores AB e AC. > -- > > Alguém poderia me mostrar como resolveu? > A parte que me encomoda é a de descobrir qual número multiplicar o lado BC > para > resultar em BM. A ideia de porcentagens é boa. Só lembrar que você pode considerar A como sendo a origem do sistema de coordenadas (afinal o resultado é invariante por translações), e concentrar-se apenas em B,.M, e C. Pense em M como sendo uma média ponderada entre B e C. Com isso, temos 3(M-B)=5(C-M), o que nos dará M=(3B+5C)/(3+5). Instantâneo! > > Eu fiz de uma maneira tosca, como dá pra fazer em porcentagem por exemplo no > acréscimo de 50% eu fazia: > > x + (x * 50%) = x * y -> "y" será o número que multiplicado por x é o mesmo > que > um acréscimo de 50%. > > No caso do problema é um decréscimo, então montei, sabendo que BC - MC = BM: > > BC - MC = BC * x(1) > > e resolvi transformando tudo em MC pelos dados da questão: > > BC = BM + MC > > BC = 5/3 MC + MC > > BC = 8/3 MC (2) > > substituindo (2) em (1) > > 8/3 MC - MC = 8/3 MC * x > > 5/3 MC = 8/3 MC * x > > 5/3 MC * 3/8 * 1/MC = x > > simplificando MC > > x = 15/24 => 5/8 > > Minha dúvida é, como poderia descobrir esse valor, que multiplica BC para me > dar > BM de maneira mais rápida? > > Agradeço > > Henrique N. Lengler > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Quadrado perfeito?
Em 24 de agosto de 2016 09:24, Ralph Teixeira escreveu: > Ah, nao li, mas tem isso: > http://djm.cc/dmoews/und.pdf Que, em resumo, é usar três bazucas para matar uma formiga. > > 2016-08-24 9:23 GMT-03:00 Ralph Teixeira : >> >> Acho que eh um problema dificil: >> http://mathworld.wolfram.com/UndulatingNumber.html >> >> 2016-08-24 9:12 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges >> : >>> >>> 3535...35 não foi um bom exemplo porque já haviam sido mencionado os >>> >>> os ab é da forma 4k+3. >>> >>> >>> >>> >>> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de >>> marcone augusto araújo borges >>> Enviado: quarta-feira, 24 de agosto de 2016 11:28 >>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >>> Assunto: [obm-l] Quadrado perfeito? >>> >>> >>> Existem quadrados perfeitos n da forma abab...ab? >>> >>> >>> Sei que se ab(36, por exemplo)é quadrado perfeito, n = abab...ab não é >>> quadrado perfeito. >>> >>> Se ab é da forma 4k+3, n não é quadrado perfeito. >>> >>> 3535...35 não é quadrado perfeito, pois os quadrados perfeitos que >>> terminam em 5, terminam >>> >>> em 25. >>> >>> Será que dá pra generalizar? >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Repositório HG de papers pessoais
Olá, pessoas! Abri um repositório no Bitbucket a fim de guardar uns papéis pessoais que andavam jogados por aí. Talvez vocês se interessem pelo material, apesar de ainda muito pequeno (só tem umas coleções de problemas e a lista de problemas propostos nas Eureka!s). Em breve (uns dois anos e meio, talvez) coloco alguns artigos e talvez algo de Computação. Eis: https://bitbucket.org/anderson_torres/mathnotes []'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
