Re: [obm-l] determine all pair of integers (x,y) such that
Oi Luis, Percebi agora que na minha ideia anterior, que h=3 vai servir, pois teremos n=11 e consequentemente x=2 e y = 23 ou -23; como colocou o Douglas. Abraços Pacini PS : Douglas , acho que tem um probleminha na sua solução no item (3), onde vc diz que mdc(y-1,y+1)=1 com y ímpar. Verifique se estou errado, ok ? Em 24/02/2018 18:02, Pacini Bores escreveu: > Oi Luis, > > Acredito que tenha completado a ideia do email anterior, verifique , ok ? > > se n é impar, teremos n+1 par e, seja n+1 = (2^s).h , com h impar (h>=1). > > Então em (2^(x-2)).(1+2^(x+1))= n(n+1), teremos > > x=s+2 e 1+h=(2^s).(h^2-8). > > Observe que devemos ter 1+h> h^2-8 , ou seja, h^2 - h - 9 <0 , donde h=1 ou > 3, uma impossibilidade. > > Abraços > > Pacini > > Em 24/02/2018 17:27, Pacini Bores escreveu: > > Oi Luis, verifique se a ideia a seguir está com algum erro: > > Observe que para x=0 teremos y =2 ou y=-2. > > Podemos escrever a igualdade da seguinte forma > > (2^x).(1+2^(x+1)) =y^2-1 = (y-1)(y+1). > > Como y é ímpar, teremos y=2n+1 e (2^(x-2)).(1+2^(x+1))= n(n+1). > > Seja n par e 2^k a maior potência de 2 na fatoração de n, ou seja, n=t.2^k > com t ímpar ( t>=1), daí teremos : > > x=k+2 e t-1 = (2^k).( 8-t^2), ou seja 8-t^2 deve ser positivo, donde t=1; ou > seja , uma impossibilidade. > > Seja n ímpar, foi onde tive dificuldade de mostrar alguma impossibilidade. > > Vou tentar mais um pouco. > > Abraços > > Pacini > > Em 24/02/2018 9:47, Luís Lopes escreveu: > > 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 > > Sauda,c~oes, > > Recebi o problema acima de um outro grupo. > > Como resolver ? > > Abs, > > Luís > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] determine all pair of integers (x,y) such that
Então... como procuramos soluções inteiras, podemos ter também soluções negativas. 1) Vamos lá, Se x<0 então 1+2^x+2^(2x+1) é inteiro somente se x=-1 logo 1+2^x+2^(2x+1)=2, mas 2 não é quadrado perfeito. 2) Se x=0 então 1+2^x+2^(2x+1)=4 então y=2 ou y=-2. 3)Se x>0 então 2^x+2^(2x+1)=2^x(1+2^(x+1))=(y-1)(y+1), como y é ímpar e MDC(y-1, y+1)=1, temos que y-1=k2^(x-1) ou y+1=k2^(x-1), com k>0 e ímpar. 4) Se y-1=k2^(x-1) então 1+2^(x+1)=k+(k^2)2^(x-2) logo 2^(x-2)=(k-1)/(8-k^2), desta forma 8-k^2 I k-1, então pela desigualdade I 8-k^2 I<= I k-1 I, k=3 , 2^(x-2)=-2, no qual não há soluções. 5) Se y+1=k2^(x-1), com a mesma analogia do passo 4 teremos 2^(x-2)=4, logo x=4 e y=23 ou y=-23 Portanto as únicas soluções serão (0,2); (0,-2); (4,23); (4,-23). Douglas Oliveira Em 24 de fevereiro de 2018 09:47, Luís Lopes escreveu: > 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 > > > Sauda,c~oes, > > > Recebi o problema acima de um outro grupo. > > Como resolver ? > > > Abs, > > Luís > > > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] determine all pair of integers (x,y) such that
Oi Luis, Acredito que tenha completado a ideia do email anterior, verifique , ok ? se n é impar, teremos n+1 par e, seja n+1 = (2^s).h , com h impar (h>=1). Então em (2^(x-2)).(1+2^(x+1))= n(n+1), teremos x=s+2 e 1+h=(2^s).(h^2-8). Observe que devemos ter 1+h> h^2-8 , ou seja, h^2 - h - 9 <0 , donde h=1 ou 3, uma impossibilidade. Abraços Pacini Em 24/02/2018 17:27, Pacini Bores escreveu: > Oi Luis, verifique se a ideia a seguir está com algum erro: > > Observe que para x=0 teremos y =2 ou y=-2. > > Podemos escrever a igualdade da seguinte forma > > (2^x).(1+2^(x+1)) =y^2-1 = (y-1)(y+1). > > Como y é ímpar, teremos y=2n+1 e (2^(x-2)).(1+2^(x+1))= n(n+1). > > Seja n par e 2^k a maior potência de 2 na fatoração de n, ou seja, n=t.2^k > com t ímpar ( t>=1), daí teremos : > > x=k+2 e t-1 = (2^k).( 8-t^2), ou seja 8-t^2 deve ser positivo, donde t=1; ou > seja , uma impossibilidade. > > Seja n ímpar, foi onde tive dificuldade de mostrar alguma impossibilidade. > > Vou tentar mais um pouco. > > Abraços > > Pacini > > Em 24/02/2018 9:47, Luís Lopes escreveu: > >> 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 >> >> Sauda,c~oes, >> >> Recebi o problema acima de um outro grupo. >> >> Como resolver ? >> >> Abs, >> >> Luís >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] determine all pair of integers (x,y) such that
Oi Luis, verifique se a ideia a seguir está com algum erro: Observe que para x=0 teremos y =2 ou y=-2. Podemos escrever a igualdade da seguinte forma (2^x).(1+2^(x+1)) =y^2-1 = (y-1)(y+1). Como y é ímpar, teremos y=2n+1 e (2^(x-2)).(1+2^(x+1))= n(n+1). Seja n par e 2^k a maior potência de 2 na fatoração de n, ou seja, n=t.2^k com t ímpar ( t>=1), daí teremos : x=k+2 e t-1 = (2^k).( 8-t^2), ou seja 8-t^2 deve ser positivo, donde t=1; ou seja , uma impossibilidade. Seja n ímpar, foi onde tive dificuldade de mostrar alguma impossibilidade. Vou tentar mais um pouco. Abraços Pacini Em 24/02/2018 9:47, Luís Lopes escreveu: > 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 > > Sauda,c~oes, > > Recebi o problema acima de um outro grupo. > > Como resolver ? > > Abs, > > Luís > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] determine all pair of integers (x,y) such that
2018-02-24 9:47 GMT-03:00 Luís Lopes : > 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 > > Recebi o problema acima de um outro grupo. > > Como resolver ? Oi Luis, Eu começaria retirando as coisas "óbvias": mostre que tem uma solução com x = 0, que x = -1 não dá, e que para x < -1 também não dá porque o lado esquerdo fica entre 1 e 2 estritamente. Também testando, x = 1, 2, 3 dão 11, 37, 137, que não são quadrados. Agora vamos fatorar (o que for possível) e depois separar em casos. É uma solução meio força-bruta. Deixo um espaço aqui para quem quiser continuar pensando (e achar algo menos apelativo). - Ponha z = 2^x. Temos z(1 + 2z) = y^2 - 1 = (y-1)(y+1), e z é uma potência "grande" de 2, e (1 + 2z) é ímpar. - Logo, o produto (y-1)(y+1) é par, pelo menos um dos fatores é par, logo ambos os fatores são pares. - Nesta fatoração, exatamente um dos termos (y-1) ou (y+1) contém uma potência grande de 2 (grande quer dizer "maior do que 2^2"), o outro será 2*ímpar. - Logo, y + d = 2^m * k, com k ímpar, m >= 2 (potência grande), e d = +1 ou -1 (para escolher qual dos fatores vai ser). Daí deduzimos que o outro fator, y - d, é igual a 2^m * k - 2*d = 2(2^(m-1)*k - d), que é 2*ímpar porque m >= 2. Juntando: 2^x * (1 + 2*2^x) = 2^m * k * 2 * (2^(m-1) * k - d) = 2^(m+1) * k * (2^(m-1) * k - d) - Olhando para as potências de 2, temos x = m+1 >= 3. Vamos olhar para a parte ímpar. Para simplificar a notação, vou usar n = m-1 >= 1 Do lado esquerdo, temos 1 + 2*2^x = 1 + 4*2^m = 1 + 8*2^n Do lado direito, temos k * (2^n * k - d) Dividindo por 2^n em ambos os lados, ficamos com 8 + 1/2^n = k^2 - kd/2^n Se d = +1, esta equação dá 8 = k^2 - (k+1)/2^n, o que mostra que k >= 3. Para k = 3, temos 8 = 9 - 1, logo (k+1)/2^n = 1, o que dá 2^n = 4, n = 2. Isso corresponde à solução x = 4, y = 23. (quase não acreditei, mas é verdade! Isso dá um pouco de confiança que eu não errei muitas contas aí pra trás!) Como k^2 - (k+1)/2^n é uma função crescente de k para k > 3 (lembre que n >= 1), o lado direito vai ser sempre maior do que 5^2 - 6/2 = 18. Se d = -1, esta equação é 8 = k^2 + (k+1)/2^n, o que dá k < 3. Só poderia ser k = 1 (pois é ímpar), e o maior valor possível é 1 + (1+1)/2 = 2, muito longe. Então não há outra solução. Ufa!! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 Sauda,c~oes, Recebi o problema acima de um outro grupo. Como resolver ? Abs, Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
