[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima escreveu: > Essa achei legal e estou postando. > > Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + > z)3 = 1 – xyz . > Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c, x+y+z=a+b+c e 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1 Usando polinômios simétricos, 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1 Agora estou confuso... > Abraço do > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [obm - l] Re: Limite
> Sendo (a_n) o ln da sequência dada, então > > a_n = 1/n ln(n!/n^n) = -1/n [-ln(1/n) - ln(2/n) - ln(n/n)] > > Temos uma sequência de somas inferiores de Riemann sobre [0, 1] da função > -ln, correspondente a uma partição de norma 1/n ---> 0. Conforme sabemos da > Análise, se a integral imprópria desta funçao sobre [0, 1] convergir, então > as somas inferiores convergirão para esta integral. E isto de fato ocorre, > pois > > Int [0, 1] lnx dx = [x lnx - x] [0, 1] = 1 * 0 - 1 - (0 - 0) = -1, visto que > lim x ---> 0+ x lnx = 0. Logo, a_n ---> -1e sua sequência converge para > e^(-1) = 1/e > > Artur Enviado do meu iPad -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Fwd: [obm-l] Limite
> Assunto: Re: [obm-l] Limite > > > Sendo (a_n) o ln da sequência dada, então > > a_n = 1/n ln(n!/n^n) = -1/n [-ln(1/n) - ln(2/n) - ln(n/n)] > > Temos uma sequência de somas inferiores de Riemann sobre [0, 1] da função > -ln, correspondente a uma partição de norma 1/n ---> 0. Conforme sabemos da > Análise, se a integral imprópria desta funçao sobre [0, 1] convergir, então > as somas inferiores convergirão para esta integral. E isto de fato ocorre, > pois > > Int [0, 1] lnx dx = [x lnx - x] [0, 1] = 1 * 0 - 1 - (0 - 0) = -1, visto que > lim x ---> 0+ x lnx = 0. Logo, a_n ---> -1e sua sequência converge para > e^(-1) = 1/e > > Artur > > Em 19 de mar de 2018 19:17, "Carlos Victor" escreveu: > Oi Vanderlei, > > Use a equivalência de Stirling : > > n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: > >> Bom dia! >> Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. >> >> Alguém conhece alguma solução? >> >> lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. >> >> Muito obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Seu orgulho talvez seja justificado! Como você descobriu que qualquer terno ordenado da forma ( x , y , -(x+y)/2 ) é solução da equação "sem o 1"? Isso não me parece nem um pouco óbvio. Eu sei que, dados três inteiros, pelo menos dois devem ter a mesma paridade, e que, como a equação é simétrica em x,y,z, podemos supor spdg que x e y têm a mesma paridade. Mas daí a termos z = -(x+y)/2 é um salto bastante longo. Além disso, supor uma solução com z = -(x+y)/2 + h para a equação original (com o 1) também me parece uma sacada brilhante, ainda que leve a um "salseiro". []s, Claudio. 2018-03-20 16:33 GMT-03:00 Pedro José : > Boa tarde! > > Ralph, > parabéns pela sua resolução. > Já, eu, caminhei por caminhos bem mais tortuosos. > Embora extremamente deselegante é uma solução. > > Se xo,yo,zo é uma solução, temos que pelo menos duas incógnitas têm a > mesma paridade. > Como o problema é simétrico, sem perda de generalidade, vamos supor que xo > e yo tenham a mesma paridade. > então podemos escrever zo = -(xo+yo)/2 + h, com h inteiro. > Sabendo-se que : [xo,yo, -(xo+yo)/2] é solução da equação sem o "1". > > e substituindo na equação original: > > h^3 + 2(xo+yo)h^2+ (3/4 (x+y)^2 + xy) h - 1=0. > > Como os coeficientes são inteiros as únicas possibilidades de h inteiro > são 1 e -1. > > h=1. > > Seja a= xo +yo > > 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 > > xoyo >0, temos que 8|a| > 3a^2 ==> |a| < 8/3 ==>|a|=2, portanto xo= -1 e > yo=-1(não podem ser positivos). Temos z=-(xo+yo)/2+h=0. (-1,-1,2) e suas > permutações são soluções. > > xo.yo = 0 temos a=0 ou a= -8/3 (não atende) ==> xo=yo=0, z= 1. (0,0,1) e > suas permutações são soluções. > > xo.y0 <0 > > 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 > > para ter solução a inteiro:Δ = (8 + 6i)^2 ==> 64 - 48 xoyo = 64 + 96 i > + 36 i^2 ==> xoyo = - (2i + 3î^2/4), com i par. > > a= i e xoyo = -(2i+ 3i^2/4) então xo e yo são soluções da equação t^2 -it > - (2i +3i^2/4) = 0. i =2k; t^2 -2kt-(4k+3k^2)=0 > > Δ = 4k^2 +16k + 12k^2 = 16k(k+1), que nunca será um quadrado perfeito com > k<>0. Então não há soluções inteiras. (k=0, recaí em xoyo=0) > > h=-1 > > Seja a= xo+yo > > -3a^2 +8a -( 4xoyo - 8) = 0 > > 4xoyo> 8 ==> 8a >3a^2; a <=2; absurdo não atende 4xoyo>8. > > 4xoyo-8=0 > > temos que a=o, não há inteiros que xoyo=2 e xo+yo=0. > > 4xoyo - 8 < 0 > > Δ = (8 + 6i)^2 ; 64 - 48xoyo + 32 = 64 + 96 i + 36 i^2; xoyo = -2/3 + 2i > + 3/4i^2, xoyo não pertence aos inteiros não há solução. > > > Ficam apenas: (0,0,1) ; (0,1,0); (1,0,0) ; (-1,-1,2); (-1,2;-1); (2,-1,-1) > > Ralph, > > Fiz esse salseiro todo, ao invés de fatorar. E olha, que ontem estava > orgulhoso de ter achado a solução. > > > Saudações, > PJMS > > > > Em 20 de março de 2018 12:10, Pedro José escreveu: > >> É acabou me ajudando. Resolvi de uma outra forma, mais complicada, usando >> a fórmula. Quando tiver um tempo eu posto. >> >> >> Em 19 de mar de 2018 21:02, "Ralph Teixeira" >> escreveu: >> >>> Opa, opa, opa! Pedro, voce achou uma formula assim generica, z=-(x+y)/2, >>> que resolve esta equacao? Beleza, excelente ideia, temos um caminho! >>> >>> Porque, se z=-(x+y)/2 eh SEMPRE solucao disso (independente de >>> "inteiros" ou nao), quer dizer que essa coisa horrorosa, passando tudo para >>> o outro lado, tem z+(x+y)/2 como fator, ou seja, x+y+2z como fator. >>> Analogamente, vai ter 2x+y+z e x+2y+z tambem! >>> >>> Em suma, a gente pode voltar na primeira equacao com a sua ideia, jogar >>> tudo para a esquerda (exceto pelo 1 chato que nao aparece na sua >>> expressao), e fatorar. Vejamos... Acho que fica assim: >>> >>> 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1 >>> (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=2 >>> >>> Confiram se eu nao errei contas... Mas agora ficou **bem** facil! :D >>> >>> Abraco, Ralph. >>> >>> 2018-03-19 14:33 GMT-03:00 Pedro José : >>> Bom dia! Estou só conjecturando. Pois, não consegui nenhuma restrição. A única coisa que consegui, mas não me adiantou de nada, é que: x,y pares ou x,y ímpares e z = -(x+y)/2 é solução de *(x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz* Também, não consegui provar que é a única família de solução da equação acima para inteiros. Em 19 de março de 2018 14:14, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Podem existir soluções não triviais envolvendo inteiros negativos. > > 2018-03-19 10:17 GMT-03:00 Pedro José : > >> Bom dia! >> >> Poderia postar a solução? Não consegui achar nenhuma restrição para >> trabalhar num subconjunto pequeno dos inteiros. >> Creio que vá ser apenas a trivial (0,0,1) e suas permutações. >> >> grato, >> PJMS >> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Essa achei legal e estou postando. >>> >>> *Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + >>> (x + y + z)3 = 1 – xyz* . >>> >>> Abraço do >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> E
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Boa tarde! Ralph, parabéns pela sua resolução. Já, eu, caminhei por caminhos bem mais tortuosos. Embora extremamente deselegante é uma solução. Se xo,yo,zo é uma solução, temos que pelo menos duas incógnitas têm a mesma paridade. Como o problema é simétrico, sem perda de generalidade, vamos supor que xo e yo tenham a mesma paridade. então podemos escrever zo = -(xo+yo)/2 + h, com h inteiro. Sabendo-se que : [xo,yo, -(xo+yo)/2] é solução da equação sem o "1". e substituindo na equação original: h^3 + 2(xo+yo)h^2+ (3/4 (x+y)^2 + xy) h - 1=0. Como os coeficientes são inteiros as únicas possibilidades de h inteiro são 1 e -1. h=1. Seja a= xo +yo 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 xoyo >0, temos que 8|a| > 3a^2 ==> |a| < 8/3 ==>|a|=2, portanto xo= -1 e yo=-1(não podem ser positivos). Temos z=-(xo+yo)/2+h=0. (-1,-1,2) e suas permutações são soluções. xo.yo = 0 temos a=0 ou a= -8/3 (não atende) ==> xo=yo=0, z= 1. (0,0,1) e suas permutações são soluções. xo.y0 <0 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 para ter solução a inteiro:Δ = (8 + 6i)^2 ==> 64 - 48 xoyo = 64 + 96 i + 36 i^2 ==> xoyo = - (2i + 3î^2/4), com i par. a= i e xoyo = -(2i+ 3i^2/4) então xo e yo são soluções da equação t^2 -it - (2i +3i^2/4) = 0. i =2k; t^2 -2kt-(4k+3k^2)=0 Δ = 4k^2 +16k + 12k^2 = 16k(k+1), que nunca será um quadrado perfeito com k<>0. Então não há soluções inteiras. (k=0, recaí em xoyo=0) h=-1 Seja a= xo+yo -3a^2 +8a -( 4xoyo - 8) = 0 4xoyo> 8 ==> 8a >3a^2; a <=2; absurdo não atende 4xoyo>8. 4xoyo-8=0 temos que a=o, não há inteiros que xoyo=2 e xo+yo=0. 4xoyo - 8 < 0 Δ = (8 + 6i)^2 ; 64 - 48xoyo + 32 = 64 + 96 i + 36 i^2; xoyo = -2/3 + 2i + 3/4i^2, xoyo não pertence aos inteiros não há solução. Ficam apenas: (0,0,1) ; (0,1,0); (1,0,0) ; (-1,-1,2); (-1,2;-1); (2,-1,-1) Ralph, Fiz esse salseiro todo, ao invés de fatorar. E olha, que ontem estava orgulhoso de ter achado a solução. Saudações, PJMS Em 20 de março de 2018 12:10, Pedro José escreveu: > É acabou me ajudando. Resolvi de uma outra forma, mais complicada, usando > a fórmula. Quando tiver um tempo eu posto. > > > Em 19 de mar de 2018 21:02, "Ralph Teixeira" escreveu: > >> Opa, opa, opa! Pedro, voce achou uma formula assim generica, z=-(x+y)/2, >> que resolve esta equacao? Beleza, excelente ideia, temos um caminho! >> >> Porque, se z=-(x+y)/2 eh SEMPRE solucao disso (independente de "inteiros" >> ou nao), quer dizer que essa coisa horrorosa, passando tudo para o outro >> lado, tem z+(x+y)/2 como fator, ou seja, x+y+2z como fator. Analogamente, >> vai ter 2x+y+z e x+2y+z tambem! >> >> Em suma, a gente pode voltar na primeira equacao com a sua ideia, jogar >> tudo para a esquerda (exceto pelo 1 chato que nao aparece na sua >> expressao), e fatorar. Vejamos... Acho que fica assim: >> >> 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1 >> (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=2 >> >> Confiram se eu nao errei contas... Mas agora ficou **bem** facil! :D >> >> Abraco, Ralph. >> >> 2018-03-19 14:33 GMT-03:00 Pedro José : >> >>> Bom dia! >>> >>> Estou só conjecturando. Pois, não consegui nenhuma restrição. >>> A única coisa que consegui, mas não me adiantou de nada, é que: >>> x,y pares ou x,y ímpares e z = -(x+y)/2 é solução de >>> >>> *(x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz* >>> Também, não consegui provar que é a única família de solução da equação >>> acima para inteiros. >>> >>> Em 19 de março de 2018 14:14, Claudio Buffara >> > escreveu: >>> Podem existir soluções não triviais envolvendo inteiros negativos. 2018-03-19 10:17 GMT-03:00 Pedro José : > Bom dia! > > Poderia postar a solução? Não consegui achar nenhuma restrição para > trabalhar num subconjunto pequeno dos inteiros. > Creio que vá ser apenas a trivial (0,0,1) e suas permutações. > > grato, > PJMS > > Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Essa achei legal e estou postando. >> >> *Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + >> (x + y + z)3 = 1 – xyz* . >> >> Abraço do >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
É acabou me ajudando. Resolvi de uma outra forma, mais complicada, usando a fórmula. Quando tiver um tempo eu posto. Em 19 de mar de 2018 21:02, "Ralph Teixeira" escreveu: > Opa, opa, opa! Pedro, voce achou uma formula assim generica, z=-(x+y)/2, > que resolve esta equacao? Beleza, excelente ideia, temos um caminho! > > Porque, se z=-(x+y)/2 eh SEMPRE solucao disso (independente de "inteiros" > ou nao), quer dizer que essa coisa horrorosa, passando tudo para o outro > lado, tem z+(x+y)/2 como fator, ou seja, x+y+2z como fator. Analogamente, > vai ter 2x+y+z e x+2y+z tambem! > > Em suma, a gente pode voltar na primeira equacao com a sua ideia, jogar > tudo para a esquerda (exceto pelo 1 chato que nao aparece na sua > expressao), e fatorar. Vejamos... Acho que fica assim: > > 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1 > (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=2 > > Confiram se eu nao errei contas... Mas agora ficou **bem** facil! :D > > Abraco, Ralph. > > 2018-03-19 14:33 GMT-03:00 Pedro José : > >> Bom dia! >> >> Estou só conjecturando. Pois, não consegui nenhuma restrição. >> A única coisa que consegui, mas não me adiantou de nada, é que: >> x,y pares ou x,y ímpares e z = -(x+y)/2 é solução de >> >> *(x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz* >> Também, não consegui provar que é a única família de solução da equação >> acima para inteiros. >> >> Em 19 de março de 2018 14:14, Claudio Buffara >> escreveu: >> >>> Podem existir soluções não triviais envolvendo inteiros negativos. >>> >>> 2018-03-19 10:17 GMT-03:00 Pedro José : >>> Bom dia! Poderia postar a solução? Não consegui achar nenhuma restrição para trabalhar num subconjunto pequeno dos inteiros. Creio que vá ser apenas a trivial (0,0,1) e suas permutações. grato, PJMS Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Essa achei legal e estou postando. > > *Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + > (x + y + z)3 = 1 – xyz* . > > Abraço do > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
