Boa tarde! Ralph, parabéns pela sua resolução. Já, eu, caminhei por caminhos bem mais tortuosos. Embora extremamente deselegante é uma solução.
Se xo,yo,zo é uma solução, temos que pelo menos duas incógnitas têm a mesma paridade. Como o problema é simétrico, sem perda de generalidade, vamos supor que xo e yo tenham a mesma paridade. então podemos escrever zo = -(xo+yo)/2 + h, com h inteiro. Sabendo-se que : [xo,yo, -(xo+yo)/2] é solução da equação sem o "1". e substituindo na equação original: h^3 + 2(xo+yo)h^2+ (3/4 (x+y)^2 + xy) h - 1=0. Como os coeficientes são inteiros as únicas possibilidades de h inteiro são 1 e -1. h=1. Seja a= xo +yo 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 xoyo >0, temos que 8|a| > 3a^2 ==> |a| < 8/3 ==>|a|=2, portanto xo= -1 e yo=-1(não podem ser positivos). Temos z=-(xo+yo)/2+h=0. (-1,-1,2) e suas permutações são soluções. xo.yo = 0 temos a=0 ou a= -8/3 (não atende) ==> xo=yo=0, z= 1. (0,0,1) e suas permutações são soluções. xo.y0 <0 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 para ter solução a inteiro:Δ = (8 + 6i)^2 ==> 64 - 48 xoyo = 64 + 96 i + 36 i^2 ==> xoyo = - (2i + 3î^2/4), com i par. a= i e xoyo = -(2i+ 3i^2/4) então xo e yo são soluções da equação t^2 -it - (2i +3i^2/4) = 0. i =2k; t^2 -2kt-(4k+3k^2)=0 Δ = 4k^2 +16k + 12k^2 = 16k(k+1), que nunca será um quadrado perfeito com k<>0. Então não há soluções inteiras. (k=0, recaí em xoyo=0) h=-1 Seja a= xo+yo -3a^2 +8a -( 4xoyo - 8) = 0 4xoyo> 8 ==> 8a >3a^2; a <=2; absurdo não atende 4xoyo>8. 4xoyo-8=0 temos que a=o, não há inteiros que xoyo=2 e xo+yo=0. 4xoyo - 8 < 0 Δ = (8 + 6i)^2 ; 64 - 48xoyo + 32 = 64 + 96 i + 36 i^2; xoyo = -2/3 + 2i + 3/4i^2, xoyo não pertence aos inteiros não há solução. Ficam apenas: (0,0,1) ; (0,1,0); (1,0,0) ; (-1,-1,2); (-1,2;-1); (2,-1,-1) Ralph, Fiz esse salseiro todo, ao invés de fatorar. E olha, que ontem estava orgulhoso de ter achado a solução. Saudações, PJMS Em 20 de março de 2018 12:10, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > É acabou me ajudando. Resolvi de uma outra forma, mais complicada, usando > a fórmula. Quando tiver um tempo eu posto. > > > Em 19 de mar de 2018 21:02, "Ralph Teixeira" <ralp...@gmail.com> escreveu: > >> Opa, opa, opa! Pedro, voce achou uma formula assim generica, z=-(x+y)/2, >> que resolve esta equacao? Beleza, excelente ideia, temos um caminho! >> >> Porque, se z=-(x+y)/2 eh SEMPRE solucao disso (independente de "inteiros" >> ou nao), quer dizer que essa coisa horrorosa, passando tudo para o outro >> lado, tem z+(x+y)/2 como fator, ou seja, x+y+2z como fator. Analogamente, >> vai ter 2x+y+z e x+2y+z tambem! >> >> Em suma, a gente pode voltar na primeira equacao com a sua ideia, jogar >> tudo para a esquerda (exceto pelo 1 chato que nao aparece na sua >> expressao), e fatorar. Vejamos... Acho que fica assim: >> >> 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1 >> (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=2 >> >> Confiram se eu nao errei contas... Mas agora ficou **bem** facil! :D >> >> Abraco, Ralph. >> >> 2018-03-19 14:33 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: >> >>> Bom dia! >>> >>> Estou só conjecturando. Pois, não consegui nenhuma restrição. >>> A única coisa que consegui, mas não me adiantou de nada, é que: >>> x,y pares ou x,y ímpares e z = -(x+y)/2 é solução de >>> >>> *(x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz* >>> Também, não consegui provar que é a única família de solução da equação >>> acima para inteiros. >>> >>> Em 19 de março de 2018 14:14, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com >>> > escreveu: >>> >>>> Podem existir soluções não triviais envolvendo inteiros negativos. >>>> >>>> 2018-03-19 10:17 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: >>>> >>>>> Bom dia! >>>>> >>>>> Poderia postar a solução? Não consegui achar nenhuma restrição para >>>>> trabalhar num subconjunto pequeno dos inteiros. >>>>> Creio que vá ser apenas a trivial (0,0,1) e suas permutações. >>>>> >>>>> grato, >>>>> PJMS >>>>> >>>>> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima < >>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> Essa achei legal e estou postando. >>>>>> >>>>>> *Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + >>>>>> (x + y + z)3 = 1 – xyz* . >>>>>> >>>>>> Abraço do >>>>>> Douglas Oliveira >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
