[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim
Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas não mais simples. E a minha tentativa foi simples demais. Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, é claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy... Valeu, Artur! *** Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula integral de Cauchy) de: SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f é uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ? Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo. []s, Claudio. 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner : > Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - > f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e > definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por > 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, > temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que > |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é > limitada (por 1/d) em todo o plano complexo. > > Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de > Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um > mapeamento afim. > > Artur > > Enviado do meu iPad > > Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > > > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara : > >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na > origem e que > >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui > singularidades > >> exceto possivelmente no infinito). > >> > >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... > >> > >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser > uniformemente > >> contÃnua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z. > > > > Hum, e porque, exatamente? Acho que você gostaria de dizer que a > > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente > > contÃnua. Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a > > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos > > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos > > para te ajudar a compensar... > > > > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"... > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim
Obrigado. Levei meses pra sacar ests prova. Já vi uma com um argumento na linha do seu no Yahoo Answers em Inglês. Mas é bem mais complicada. Vou ver se acho. Na reta real não vale. É por causa da rigidez que vc mencionou para funções holomorfas. Por exemplo, na reta real é muito complicado dar exemplo de uma função contínua em toda a reta e não diferenciável em ponto nenhum. No plano, é muito simples: a função f(z) = conjugado(z) tem estas características. Em nenhum complexo satisfaz às equações de Cauchy Riemman. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em Sex, 30 de mar de 2018 08:36, Claudio Buffara escreveu: > Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possível, mas > não mais simples. > E a minha tentativa foi simples demais. > > Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, é > claro (também em retrospecto), as ubíquas estimativas de Cauchy... > > Valeu, Artur! > > *** > > Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula > integral de Cauchy) de: > SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f é > uniformemente contínua, ENTÃO f é afim ? > > Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo. > > []s, > Claudio. > > > 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner : > >> Se f for uniformemente contínua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - >> f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e >> definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada por >> 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de Cauchy, >> temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, leva a que >> |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, concluímos que f’ é >> limitada (por 1/d) em todo o plano complexo. >> >> Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de >> Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um >> mapeamento afim. >> >> Artur >> >> Enviado do meu iPad >> >> Em 29 de mar de 2018, à(s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> bernardo...@gmail.com> escreveu: >> >> > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara : >> >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na >> origem e que >> >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui >> singularidades >> >> exceto possivelmente no infinito). >> >> >> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... >> >> >> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser >> uniformemente >> >> contÃnua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z. >> > >> > Hum, e porque, exatamente? Acho que você gostaria de dizer que a >> > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria uniformemente >> > contÃnua. Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que a >> > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos >> > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos >> > para te ajudar a compensar... >> > >> > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"... >> > >> > Abraços, >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> = >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > >> = >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Bom dia! Sua pergunta foi outra. Viajei. Saudações, PJMS Em 29 de mar de 2018 11:10 PM, "Pedro José" escreveu: > Boa noite! > Não consegui provar que se mdc(a,b)=1 Fi(ab)=Fi(a).Fi(b), para completar a > demonstração. > Porém pesquisando, encontrei essa pérola: > A probabilidade de que um número inteiro d, 0< d <=m seja primo com m é > igual a FI(m)/m. > Se d é primo com m d <>0 mod p para todo p que divide m. > Então a probabilidade de ser primo com p é (p-1)/p já que existem p restos > possíveis da divisão euclidiana por p. Para atender todos p que dividem m > segue o produtório. Como a probabilidade é Fi(m)/m, segue a fórmula. > E dela dá para provar que Fi(ab)=Fi(a)Fi(b) se (a,b)=1. > Já provar primeiro, para chegar na fórmula, não consegui. > > Saudações, > PJMS. > > > Em 29 de mar de 2018 22:30, "Pedro José" escreveu: > >> Desculpe- me, não são divisores. São os únicos números que não são >> co-primos de p^k. >> >> Em 29 de mar de 2018 22:25, "Pedro José" escreveu: >> >>> Boa noite! >>> Israel, >>> você é detalhista. >>> É fácil ver que se n = p^k, só haverá p^(k-1) divisores de p^k. >>> Ou seja, d = m.p, onde 0>> -p^(k-1)=p^k.(1-1/p). >>> Depois dá um pouquinho mais de trabalho. Que é provar que se mdc(a,b) =1 >>> então Fi(ab)=Fi(a).Fi(b). >>> >>> Saudações, >>> PJMS.u >>> >>> Em 29 de mar de 2018 21:48, "Pedro José" escreveu: >>> Boa noite! Não tenho editor de símbolos. Portanto. Fi(n)= n . Produtório de ( p-1)/ p, onde p é primo e p divide n. Em 28 de mar de 2018 22:19, "Anderson Torres" < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo > escreveu: > > Existe alguma função na matemática que conta a quantidade de > divisores > > primos de um dado número n qualquer?Sabe-se que phi(n) -totiente- > conta a > > quantidade de números primos menores ou iguais a n então (n- > phi(n)) é a > > quantidade de divisores, certo?mas e a quantidade de divisores > primos? > > > > Existir, existe. Mas você espera o quê? Uma fórmula fácil? Isso seria > meio insano, afinal muitas funções em teoria dos números dependem > explicitamente da fatoração. Por exemplo, a phi de Euler depende que > se saiba da fatoração, a contagem de divisores e a soma dos divisores > também. > > > -- > > Israel Meireles Chrisostomo > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que uma função inteira e uniformemente contínua é um mapeamento afim
Análise complexa é um tópico sobre o qual eu tenho pouca intuição. Deve ter a ver com a minha inabilidade de visualizar gráficos em 4-d. Preciso passar mais tempo pensando a respeito e resolvendo problemas. Por exemplo, não acho nem um pouco óbvio que o gráfico de y^2 = x^3 - x (x e y complexos) seja um toro. Abs Enviado do meu iPhone Em 30 de mar de 2018, à(s) 10:14, Artur Steiner escreveu: > Obrigado. Levei meses pra sacar ests prova. Já vi uma com um argumento na > linha do seu no Yahoo Answers em Inglês. Mas é bem mais complicada. Vou ver > se acho. > > Na reta real não vale. É por causa da rigidez que vc mencionou para > funções holomorfas. Por exemplo, na reta real é muito complicado dar > exemplo de uma função contÃnua em toda a reta e não diferenciável em > ponto nenhum. No plano, é muito simples: a função f(z) = conjugado(z) tem > estas caracterÃsticas. Em nenhum complexo satisfaz à s equações de Cauchy > Riemman. > > Abraços > Artur > > > Artur Costa Steiner > > Em Sex, 30 de mar de 2018 08:36, Claudio Buffara > escreveu: >> Beleza! Como dizia Einstein, tudo deve ser o mais simples possÃvel, mas >> não mais simples. >> E a minha tentativa foi simples demais. >> >> Gostei da ideia (obvia em retrospecto): f é afim <==> f' é constante. E, >> é claro (também em retrospecto), as ubÃquas estimativas de Cauchy... >> >> Valeu, Artur! >> >> *** >> >> Ainda assim, será que há alguma demonstração direta (sem usar a fórmula >> integral de Cauchy) de: >> SE f(z) é expressa por uma série de Taylor convergente em todo ponto E f >> é uniformemente contÃnua, ENTÃO f é afim ? >> >> Na reta isso não é verdade. Tome x --> sen(x), por exemplo. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-29 23:40 GMT-03:00 Artur Costa Steiner : >>> Se f for uniformemente contÃnua, podemos escolher d > 0 tal que |f(w) - >>> f(z)| < 1 para todos w e z com |w - z| < d. Fixando-se arbitrariamente z e >>> definindo-se g(w) = f(w) - f(z), obtemos uma função inteira e limitada >>> por 1 no disco fechado de raio d e centro em z. Pelas estimativas de >>> Cauchy, temos então que |g’(z| <= 1/d, o que, pela definição de g, >>> leva a que |f’(z)| <= 1/d. Como z é arbitrário e d independe de z, >>> concluÃmos que f’ é limitada (por 1/d) em todo o plano complexo. >>> >>> Como derivadas de funções inteiras são inteiras, segue-se do teorema de >>> Liouville que f’ é constante, o que, por sua vez, implica que f seja um >>> mapeamento afim. >>> >>> Artur >>> >>> Enviado do meu iPad >>> >>> Em 29 de mar de 2018, à (s) 10:03 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> escreveu: >>> >>> > 2018-03-29 21:17 GMT-03:00 Claudio Buffara : >>> >> A função pode ser expressa como uma série de Taylor centrada na >>> >> origem e que >>> >> converge em todo o plano (pois é inteira, ou seja, não possui >>> >> singularidades >>> >> exceto possivelmente no infinito). >>> >> >>> >> Assim, f(z) = a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... >>> >> >>> >> Mas se algum dos a_k é não-nulo para k > 1, f não poderá ser >>> >> uniformemente >>> >> contÃÂnua. Logo, f(z) = a_0 + a_1*z. >>> > >>> > Hum, e porque, exatamente? Acho que você gostaria de dizer que a >>> > derivada não pode ficar limitada, e por isso f não seria >>> > uniformemente >>> > contÃÂnua. Mas não é imediato que "algum a_k != 0" implique que >>> > a >>> > derivada é ilimitada em alguma sequência... afinal, os outros termos >>> > poderiam (poderiam...) compensar, e note que você tem infinitos termos >>> > para te ajudar a compensar... >>> > >>> > Acho que não dá para evitar os teoremas "pesados"... >>> > >>> > Abraços, >>> > -- >>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > = >>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> > = >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>  acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória
Em 29 de março de 2018 15:37, Igor Caetano Diniz escreveu: > Vou mostrar a sua e a minha e aí se ele não aprender com as duas, tento > fazer devagar em casos menores. hehe > > Abraços Cláudio e obrigado =) > > 2018-03-29 15:17 GMT-03:00 Claudio Buffara : >> >> Sim. Acho essa uma solução bem mais elegante. >> Mas também é mais sofisticada, e você falou que o aluno é principiante. >> >> De todo jeito, acho que raciocinar recursivamente é uma habilidade que >> todo estudante de matemática deveria desenvolver. >> Não seria mais interessante ir "montando" as possíveis sequências num diagrama de árvore mesmo, já que é para fazer no bração? Cada nível da árvore é obtido acrescentando 0 e 1 ao final do nível anterior e aniquilando os que quebram o padrão (dois 1s consecutivos). * 0 1 00 01 10 11X 000 001 010 011X 100 101 0001 0010 0011X 0100 0101 1000 1001 1010 1011X E assim por diante. Afinal, se é para contar na mão, tem que organizar. >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-29 14:45 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz : >>> >>> Olá Claudio >>> Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa >>> irá entender: >>> >>> Para 1 bit, 2 possibilidades >>> Para 2 bits, 3 >>> Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior. >>> Se for 1 _ _ tem que ser 1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1. >>> Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1 >>> 0 _ _, caindo no anterior -1. >>> Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de >>> F(1) = 2 e F(2) = 3 >>> >>> >>> Estaria correto assim? >>> >>> Abraços >>> >>> 2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara : Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência. N = 0: 1 sequência N = 1: 8 sequências N = 2: 8*7/2 - 7 = 21 (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois 1’s adjacentes) N = 4: 2 N > 4: 0 O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a ser difícil. Depois eu mando. Abs Enviado do meu iPhone Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz escreveu: > Olá pessoal, > > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução > didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que > iniciou > combinatória agora. > segue a questão: > > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1 > consecutivos? > > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão > entre 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's > consecutivos. Mas assim fica difÃcil para quem começou a aprender > agora. > > Abraços > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra
Em 28 de março de 2018 07:39, Anderson Torres escreveu: > Em 27 de março de 2018 21:04, Claudio Buffara > escreveu: >> Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois >> teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são >> facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo >> exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho): >> >> 1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio contém >> as raízes da derivada do polinômio. >> (dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma >> de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use >> conjugação). >> >> 2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral, >> vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são >> colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os focos >> da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste triângulo e >> tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama a inelipse de >> Steiner do triângulo. >> >> Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da >> unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0 >> (raiz dupla da derivada). >> >> Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por >> uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2 >> (w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência, pontos >> médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular). Será que >> isso ajuda a provar o teorema de Marden? > > E a parte das propriedades da inelipse? Isso fica meio que perdido, > afinal transformações afins não costumam respeitar nada além da > "figura exterior"; tanto que os focos da elipse "colapsam" no > incentro. > > Mas a ideia parece salvável. E se jogássemos, mediante homotetias, as > raízes da derivada no eixo X, de modo a ter raízes bonitinhas - ou, > mais precisamente, forçar uma elipse de focos 1 e -1? Ainda estou nas contas, mas vou deixar minha ideia registrada: - Começa provando isso para o caso em que a dita inelipse é o famoso círculo unitário centrado na origem. - Uma transformação afim leva este círculo em uma elipse típica cujos eixos são os eixos coordenados. Verifica-se aonde foram parar os pontos do triângulo e aonde vão parar os focos da elipse, conferindo assim o teorema. - Verifica-se como rotações e translações podem alterar os valores relevantes ao problema, tratando assim do caso geral. > >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. : >>> >>> Boa noite! >>> >>> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos >>> sobre o TFA. >>> >>> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de >>> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z >>> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f >>> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios. >>> >>> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de >>> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me >>> informaram que há uma >>> >>> Muito obrigado >>> >>> Carlos >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
