[obm-l] Provar que f é contínua

[Artur Steiner]

Seja A um subconjunto Lebesgue mensurável de R^n e seja x + A = {x + a | a
está em A} a translação de A por x de R^n.  Sendo m a medida de Lebesgue,
mostre que a função definida em R^n por f(x) = m(A inter (x + A)) é
contínua.

Uma vez vi uma prova disso, extremamente complicada, cheia de lemas
intermediários, e não me lembro bem. Estou tentando dar uma prova mas ainda
não cheguei lá.

Este teorema pode ser empregado para mostrar que, se m(A) > 0, então A - A
= {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem. É
possível mostrar isto sem saber que f é contínua. Será que, sabendo da
existência da bola, podemos mostrar que f é contínua?

A medida de Lebesgue é translação invariante: Se A é mensurável, então,
para todo x de R^n,  x + A também é e m(x + A) = m(A).

Abraços.

Artur Costa Steiner

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[obm-l] Re: [obm-l] Provar que f é contínua

[Artur Costa Steiner]

Neste problema esqueci de mencionar que precisamos ter m(A) < oo. Caso
contrário, f pode assumir o valor oo e o conceito de continuidade fica
prejudicado.

Artur

Em dom, 25 de nov de 2018 14:17, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com escreveu:

> Seja A um subconjunto Lebesgue mensurável de R^n e seja x + A = {x + a | a
> está em A} a translação de A por x de R^n.  Sendo m a medida de Lebesgue,
> mostre que a função definida em R^n por f(x) = m(A inter (x + A)) é
> contínua.
>
> Uma vez vi uma prova disso, extremamente complicada, cheia de lemas
> intermediários, e não me lembro bem. Estou tentando dar uma prova mas ainda
> não cheguei lá.
>
> Este teorema pode ser empregado para mostrar que, se m(A) > 0, então A - A
> = {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem. É
> possível mostrar isto sem saber que f é contínua. Será que, sabendo da
> existência da bola, podemos mostrar que f é contínua?
>
> A medida de Lebesgue é translação invariante: Se A é mensurável, então,
> para todo x de R^n,  x + A também é e m(x + A) = m(A).
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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 acredita-se estar livre de perigo.

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[Pedro José]

Bom dia!
Refiro-me a solução recomendada por Israel.
A princípio eu encrenquei com a solução. Pois, sem nenhuma caracterização
definiu que a era mínimo. Então achei que a solução para a a, também seria
absurdo.
Aí, encrenquei mesmo com a soluçao e achei essa família de soluções para
a1, xinteiro, atende a escreveu:

> Bom dia!
>
> Linda solução pela simplicidade de ferramentas utilizadas.
> Todavia, creio eu que não foi de bom alvitre utilizar a imagem de um
> matemático famoso e divulgar que ele só ganhou um ponto na questão.
> A mensagem, não explícita, mas é uma mensagem:"Ele não resolveu mas eu
> sim."
> As condições de resolução são totalmente diversas. Inclusive, devido às
> questões anteriores ele já pode ter chegado a essa com o ponterinho do
> relógio pendurado.
> A solução do problema, mesmo tardia, sem a carga emocional que uma IMO
> deve impor aos seus participantes, ainda é carregada de méritos, e na minha
> visão, essa em particular, com uma beleza maior por ser sutil e singela.
> Mas usar a imagem da "fera", não obstante não ser dono da verdade, foi
> bola fora.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em qui, 23 de ago de 2018 às 15:50, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Assista a esse vídeo:
>> https://www.youtube.com/watch?v=Cy3Vyl-jxpk
>>
>> Em qui, 23 de ago de 2018 às 14:09, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> Blz não sabia q era de lá, vou consultar. Obrigado!
>>>
>>> Em qui, 23 de ago de 2018 às 10:30, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente
 considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até
 aquela data.

 Um bom ponto de partida pode ser este:
 https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping
 Ou então: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo.html

 []s,
 Claudio.



 2018-08-23 9:57 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

> Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um
> divisor de (a^2 + b^2). Sobre o número  (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar
> que é um quadrado perfeito:
> A) se, e só se, a e b também o forem.
> B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade
> C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas
> D) somente para um número finito de valores de a e b
> E) sempre
>
> R: e
>
 --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>

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>>> Fiscal: Daniel Quevedo
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>>
>>
>>
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>> Israel Meireles Chrisostomo
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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