[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão de um polinômio

[Artur Costa Steiner]

Outra solução:

As raízes de x^2 + x + 1 são r1 = cis 2pi/3 e r2= cis 4pi/3, as raízes
cúbicas de 1 exceto 1.. Sendo D o quociente e ax + b o resto da divisão.
temos que

*x^30 - x^28 + 7x^12 = D(x) ( x^2 + x + 1) + ax + b*

*Como 30 e 12 são múltiplos de 3, r1^30 = r1^12 = 1. E r1^28 = r1 . r1^27 =
r1. Assim, fazendo x = r1, vem*

*1 - r1 + 7 = 8 - r1 = 8 - (-1/2 + raiz(3)/2 i) = 8,5 - raiz(3)/2 i = -a/2
+ a raiz(3)/2 i + b.*

*Assim, a = -1, b - a/2 = b + 1/2 = 8,5 , b = 8. O resto é -x + 8.*

*Fazendo x = r2, chegamos ao mesmo resultado.*

*Mas acho que  solução do Matheus é mais elegante.  A minha se simplificou
porque 30 e 12 são múltiplos de 3 e 28 = 1 + 27, 27 também múltiplo de 3*


*Artur *
Em sáb, 22 de ago de 2020 21:38, Matheus Secco 
escreveu:

> Neste caso específico, você pode usar congruência de polinômios (que é bem
> similar à congruência para números inteiros) e isso é facilitado pelo fato
> de x^3 - 1 = (x - 1)(x^2+x+1).
>
> Com essa observação, podemos escrever x^3 == 1 (mod x^2+x+1). Com isso,
> x^30 = (x^3)^10 == 1 (mod x^2+x+1), x^28 = (x^3)^9 * x == x (mod x^2+x+1) e
> 7x^12 = 7(x^3)^4 == 7 (mod x^2+x+1).
>
> Assim x^30 - x^28 + 7x^12 == 1 - x + 7 == 8 - x (mod x^2+x+1) e como o
> grau de (8-x) é menor que o grau de (x^2+x+1), o resto é 8 - x.
>
> Abraços,
>
> Matheus.
>
> On Sat, Aug 22, 2020 at 9:19 PM Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
>
>> Oi!
>>
>> Existe algum fato específico que ajude a determinar o resto da divisão de
>> um polinômio de grau elevado por outro, ou depende do caso?
>>
>> Por exemplo, como encontrar o seguinte resto, sem excessivos cálculos?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Determine o resto da divisão do polinômio x^30 - x^28 + 7x^12 por x^2 +
>> x + 1?*
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_-615878603476649313_m_2794148347715460488_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Elipse e lugar geométrico

[qedtexte]

Sauda,c~oes, 


>Demorei para responder, mas queria dizer que foi muito boa sua 
resolução, como sempre, Ralph!
>Eu desconhecia o fato de as coordenadas do incentro serem dadas daquela 
forma.
Eu não lembrava mais mas a demonstraçao aparece na RPM 43, por 
exemplo. 
Artigo do Morgado. 

Resolvendo o problema de construir um triângulo dados , com 
BD_b = d_b 
bissetriz interna, cálculos simbólicos mostraram que se A percorre a elipse E_1 de focos 
B,C, centro O_1 e eixo maior PQ=b+c, então D_b percorre uma outra elipse E_2 tal que:




Ou seja, os focos de E_2 são F,C com eixo maior BX, tal que  
são 
conjugados harmônicos do segmento CQ. 

Os eixos menores de E_1 e E_2 são paralelos. Fazendo uma "figura", 
vem: 

P                 B      F                  O_1   
   O_2                   C       X           Q

BC=a; O_1=M_a, PQ=b+c; O_2 centro de E_2.

D_c deve percorrer uma elipse também. Assim, fazendo I=BD_b/\CD_c acho 
que 
dá pra mostrar que o lugar geométrico de I é outra elipse.

Como o centro do círculo \phi=(B,d_b) está num dos eixos da elipse, o 
problema 
tem uma construção com régua e compasso.

Abraços, 
Luís 









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