Boa tarde!
Esse tipo de equação que você mandou se chama "Equações de Pell". É uma
equação diofantina, mas da forma x^2 - dy^2 = 1, em que d é um número
positivo e não-quadrado-perfeito. Também busca soluções inteiras para "x" e
"y".
Um matemático provou que esse tipo de equação tem infinitas soluções quando
d segue as restrições.
Alguns motivos dos passos da resolução tem origens em matemática mais
avançada do que sei, por isso vou os omitir.
Resolução:
A equação pode ser reescrita como (x+y*sqrt(d))*(x-y*sqrt(d)) = 1, e
podemos achar as n soluções em função do que é chamado de solução
fundamental ("1ª" solução):
x_n + y_n * sqrt(d) = (x_1 + y_1 * sqrt(d))^n
("x_n" significa "x índice n")
Para encontrar a solução fundamental, podemos utilizar das frações
contínuas para sqrt(d), encurtando a fração no final do período, e, assim,
o numerador e o denominador do resultado da fração vão ser o "x" e "y",
respectivamente (utilizando d = 7):
A fração contínua para sqrt(7) é [2;*1,1,1,4*], com repetição na parte em
negrito. (Vou fazer a representação linear, pois é mais complicado entender
na forma de fração)
Encurtando-a para o final do período, fica [2;1,1,1], o que equivale a 8/3.
Portanto, a solução fundamental é (8, 3).
A partir disso, pode-se encontrar os outros infinitos resultados pela
fórmula já mencionada acima:
(x_1 + y_1 * sqrt(d))^n
(8 + 3 * sqrt(7))^n
Note que para alcançar a solução (x, y) é necessário "desconsiderar" a raiz
quadrada de "d" no final, e já que se quer x e y inteiros, a solução
será (±x, ±y)
Exemplos:
(8+3 * sqrt(7))^2 = 64 + 2(24*sqrt(7)) + 63 = 127 + 48*sqrt(7)
Solução2: (±127, ±48)
(8+3 * sqrt(7))^3 = (8 + 3*sqrt(7)) * (127 + 48*sqrt(7)) = 8*127 +
8*48*sqrt(7) + 3*sqrt(7)*127 + 3*sqrt(7)*48*sqrt(7) = 1016 + 384*sqrt(7) +
381*sqrt(7) + 1008 = 2024 + 765*sqrt(7)
Solução3: (±2024, ±765)
Desculpe pelas partes sem muita explicação, mas espero que tenha entendido
como se resolve
Em seg., 15 de nov. de 2021 às 13:36, Pedro José
escreveu:
> Boa tarde!
>
> Alguém saberia como resolver a seguinte equação:
>
> x^2-7y^2=1, x,y em Z?
>
> Fiz a-7b=1 e achei a= 8 +7k e b=1 +K
> Logo fica fácil que para k=-1 funciona x^2=1 e y^2=0.
> Também funciona para k=8 x^2=64 e y^2=9.
> Mas não sei nem como achar mais soluções nem como provar que só são essas.
> Alguém poderia me dar uma orientação?
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
