Re: [obm-l] Amigo secreto ENEM
Uma pergunta: você assume que o número de sorteios é !10. Mas e se, em meio ao sorteio, nossa permutação caótica seja tal que seja formado um ciclo indesejado? Digamos A->B->C->A. Como o sorteio continuará nesse caso? Será escolhida aleatoriamente uma pessoa de fora do ciclo para continuar? Isso não afetaria esse !10? Em ter, 26 de jan de 2021 17:26, Ralph Costa Teixeira escreveu: > Deixa eu copiar o que escrevi em outro lugar... :D :D > > Primeiro: não fica claro do enunciado se "auto-sorteios" (alguém sortear o > próprio nome) são permitidos ou não, e isto ALTERA a resposta. :( > > Vejamos possíveis respostas corretas: > > ---///--- > > SE AUTO-SORTEIOS FOREM PERMITIDOS: > Em resumo, temos 1/10 de chance de A iniciar o sorteio, e 1/10 de chance > de B terminar (1/10 sim, pois A *pode* terminar). Assim, a resposta seria > 1/10*1/10*2=1/50. > > Com mais detalhes para justificar o segundo "1/10": > -- Número de sorteios possíveis = 10! > -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! > -- Note que ter um ciclo de tamanho 10 equivale a terminar com quem > inicia; portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que > iniciou seria 9!/10!=1/10 (*que é independente de quem começa*). > > Assim: > -- Chance de A iniciar = 1/10; > Agora, DADO QUE A INICIOU: > Chance de A terminar = 9!/10! = 1/10 > Portanto, chance de não terminar com A: 9/10 > Chance de B terminar (por simetria): (9/10) /9 = 1/10 > > Isso nos dá 1/10*1/10 = 1/100 de chance do amigo secreto começar por A e > terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, 1/50. > > ---///--- > SE AUTO-SORTEIOS SÃO PROIBIDOS: > -- Número de sorteios (desarranjos) possíveis = !10 (vou escrever K=!10 > daqui por diante); > -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! > -- Portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que iniciou > seria 9!/K (que é independente de quem começa). > > Assim: > -- Chance de A iniciar = 1/10; > Agora, DADO QUE A INICIOU: > Chance de A terminar = 9!/K > Portanto, chance de não terminar com A: 1-9!/K > Chance de B terminar (por simetria): (1-9!/K) /9 = (K-9!)/(9K) > > Isso nos dá 1/10* (K-9!)/(9K) = (K-9!)/(90K) de chance do amigo secreto > começar por A e terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, > (K-9!)/(45K). Fazendo a conta com a ajuda do computador, achei 12001/741645. > > Abraço, Ralph. > > > > On Tue, Jan 26, 2021 at 1:45 PM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >> Oi, pessoal! >> >> Com certeza vocês estão acompanhando desde domingo as resoluções da >> questão do ENEM do amigo secreto. >> Além da resposta proposta, *1/45*, que parece não estar correta, já vi >> outras duas, *12001/741645* (ETAPA e ANGLO), que consideram também que o >> sorteio anterior para definir "quem presenteia quem", e *7/360*, do >> vídeo a seguir: >> >> https://www.youtube.com/watch?v=c-t_BAMASKE >> >> Gostaria da opinião (e se possível, uma resolução) dos especialistas da >> lista (Ralph e cia :)) >> >> Muito obrigado! >> >> >> >> >> >
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Teoria dos Números
Suponha que a =1. Queremos que 1/b + 1/c seja inteiro. Mas se b >= 3, temos 1/b + 1/c <= 2/3. Logo, as únicas sol nesse subcaso são b=c=1 e b=c=2. Vou admitir como verdade que a<4 pq vc provou isso. Suponha que 1 < a < 4 e b >= 5. Daí 1/a + 1/b + 1/c <= 1/2 + 1/5 + 1/5 = 9/10 Logo, b < 5. (Pq n há sol com b>=5 e a=1) Suponha que a = 2. Daí 1/b + 1/c = 1/2. Se b>= 5, temos 1/b + 1/c <= 2/5. Logo, b < 5. Testando as finitas possibilidades restantes, temos as sol b=3, c=6 e b=4, c =4. Suponha que 2 < a < 4, 2< b < 5 e c >= 4. Daí 1/a+1/b+1/c <= 1/3 + 1/3 + 1/4 < 1. Logo, c < 4. Mas se 2 >= c, teríamos 2 >= c >= b > 2, uma contradição. Logo, c = 3. E como c = 3 >= a, b > 2, temos a = b = 3. Logo, a sol nesse subcaso seria a=3, b=3 e c=3 On Tue, Oct 6, 2020, 17:14 Marcos Duarte wrote: > Boa tarde! > > Encontre todos os números naturais a,b,c tais que a<=b<=c e a soma 1/a + > 1/b + 1/c seja um inteiro. > > O único limitante que encontrei é que a < 4, pois 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 < > 1 e já que a + 1 > a => 1/(a+1) < 1/a, temos que para a > 4 a soma continua > menor que 1. Além disso, (1,1,1) e (3,3,3) satisfazem. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
Sim. Corrigindo: G(n+1) = [G(1)]^(2^n) G(n) = [G(1)]^[2^(n-1)] = [3^2]^[2^(n-1)] = 3^(2^n) O resto está correto, eu acredito. Em qui, 1 de ago de 2019 07:55, Caio Costa escreveu: > Seria G(n+1) = [G(1)]^(2^n)? > > On Wed, Jul 31, 2019, 9:24 PM Arthur Queiroz > wrote: > >> Complementando, dá pra achar o termo geral assim: >> N(n+1) = 2*N(n)^2 + 2*N(n) >> Multiplicando os dois lados por dois e adicionando um: >> 2*N(n+1) + 1= 4*N(n)^2+4*N(n)+1 >> Fatorando o lado direito: >> 2*N(n+1) + 1 = (2*N(n)+1)^2 >> Agora, sendo G(n) = 2*N(n)+1, teremos que: >> G(n+1) = G(n)^2 = ((G(n-1)^2)^2 = ... = G(1)^(2^(n-1)) >> Só que G(1) = 2*N(1)+1 = 2*4+1 = 9 = 3^2, logo G(n+1) = G(1)^(2^(n-1)) = >> (3^2)^(2^(n-1)) = 3^(2^n) >> Voltando, N(n), pela equação anterior, é igual a (G(n)-1)/2 >> Logo, N(n) = (3^(2^n)-1)/2 >> Por fim, a resposta do problema é N(2013)/(N(2013)+1) = >> (3^(2^2013)-1)/(3^(2^2013) + 1) >> >> Em qua, 31 de jul de 2019 às 20:20, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 >>> >>> Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = >>> 2ab/(a^2+b^2) < 1. >>> Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 >>> ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 >>> E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) >>> >>> Assim, a sequência de numeradores será: >>> N(1) = 4, >>> N(2) = 2*4*(4+1) = 40 >>> N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 >>> ... >>> N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) >>> >>> De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o >>> número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. >>> >>> >>> >>> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Exatamente isso! >>>> >>>> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: >>>> >>>>> não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). >>>>> O que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão >>>>> pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da >>>>> calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. >>>>> >>>>> Att, >>>>> >>>>> Caio Costa >>>>> >>>>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Boa noite! >>>>>> Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. >>>>>> Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa >>>>>> que valor. O número é a ideia e não a representação, portanto >>>>>> 1,0 = >>>>>> 1 = I (representação romana) = 0, >>>>>> Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. >>>>>> >>>>>> Saudações, >>>>>> PJMS >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < >>>>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>>>> >>>>>>> A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) >>>>>>> A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. >>>>>>> Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais >>>>>>> após a vírgula). >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Enviado do meu iPhone >>>>>>> >>>>>>> Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < >>>>>>> drigo.ang...@gmail.com> escreveu: >>>>>>> >>>>>>> Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de >>>>>>> função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz >>>>>>> positiva >>>>>>> de x - 1/x que é 1 >>>>>>> >>>>>>> Atenciosamente, >>>>>>> Rodrigo de Castro Ângelo >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < >>>>>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: >>>>>>> >>>>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
Complementando, dá pra achar o termo geral assim: N(n+1) = 2*N(n)^2 + 2*N(n) Multiplicando os dois lados por dois e adicionando um: 2*N(n+1) + 1= 4*N(n)^2+4*N(n)+1 Fatorando o lado direito: 2*N(n+1) + 1 = (2*N(n)+1)^2 Agora, sendo G(n) = 2*N(n)+1, teremos que: G(n+1) = G(n)^2 = ((G(n-1)^2)^2 = ... = G(1)^(2^(n-1)) Só que G(1) = 2*N(1)+1 = 2*4+1 = 9 = 3^2, logo G(n+1) = G(1)^(2^(n-1)) = (3^2)^(2^(n-1)) = 3^(2^n) Voltando, N(n), pela equação anterior, é igual a (G(n)-1)/2 Logo, N(n) = (3^(2^n)-1)/2 Por fim, a resposta do problema é N(2013)/(N(2013)+1) = (3^(2^2013)-1)/(3^(2^2013) + 1) Em qua, 31 de jul de 2019 às 20:20, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 > > Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = > 2ab/(a^2+b^2) < 1. > Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 > ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 > E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) > > Assim, a sequência de numeradores será: > N(1) = 4, > N(2) = 2*4*(4+1) = 40 > N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 > ... > N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) > > De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o > número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. > > > > On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara > wrote: > >> Exatamente isso! >> >> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa wrote: >> >>> não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). O >>> que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão >>> pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da >>> calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. >>> >>> Att, >>> >>> Caio Costa >>> >>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa que valor. O número é a ideia e não a representação, portanto 1,0 = 1 = I (representação romana) = 0, Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. Saudações, PJMS Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) > A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. > Neste caso, será 1,0 (numa calculadora com 9 casas decimais > após a vírgula). > > > Enviado do meu iPhone > > Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < > drigo.ang...@gmail.com> escreveu: > > Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de > função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz positiva > de x - 1/x que é 1 > > Atenciosamente, > Rodrigo de Castro Ângelo > > > Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < > cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: > >> Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está >> na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é >> substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o >> número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após >> apertarmos 2013 vezes seu botão. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
