Complementando, dá pra achar o termo geral assim: N(n+1) = 2*N(n)^2 + 2*N(n) Multiplicando os dois lados por dois e adicionando um: 2*N(n+1) + 1= 4*N(n)^2+4*N(n)+1 Fatorando o lado direito: 2*N(n+1) + 1 = (2*N(n)+1)^2 Agora, sendo G(n) = 2*N(n)+1, teremos que: G(n+1) = G(n)^2 = ((G(n-1)^2)^2 = ... = G(1)^(2^(n-1)) Só que G(1) = 2*N(1)+1 = 2*4+1 = 9 = 3^2, logo G(n+1) = G(1)^(2^(n-1)) = (3^2)^(2^(n-1)) = 3^(2^n) Voltando, N(n), pela equação anterior, é igual a (G(n)-1)/2 Logo, N(n) = (3^(2^n)-1)/2 Por fim, a resposta do problema é N(2013)/(N(2013)+1) = (3^(2^2013)-1)/(3^(2^2013) + 1)
Em qua, 31 de jul de 2019 às 20:20, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > x(0) = 2 ==> x(1) = 4/5 ==> x(2) = 40/41 ==> x(3) = 3800/3801 > > Em geral, se x(n) = a/b (a e b inteiros primos entre si) ==> x(n+1) = > 2ab/(a^2+b^2) < 1. > Além disso, olhando os primeiros termos, parece que a^2 + b^2 = 2ab + 1 > ==> (a - b)^2 = 1 ==> b = a + 1 > E, de fato, se x(n) = a/(a+1), então x(n+1) = 2a(a+1)/(2a^2+2a+1) > > Assim, a sequência de numeradores será: > N(1) = 4, > N(2) = 2*4*(4+1) = 40 > N(3) = 2*40*(40+1) = 3800 > ... > N(n+1) = 2*N(n)*(N(n)+1) > > De bate pronto não vejo uma fórmula fechada pra esta recorrência, mas o > número desejado é N(2013)/(N(2013)+1), e N(2013) é um inteiro gigantesco. > > > > On Wed, Jul 31, 2019 at 7:59 PM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> > wrote: > >> Exatamente isso! >> >> On Wed, Jul 31, 2019 at 7:38 PM Caio Costa <atsocs...@gmail.com> wrote: >> >>> não vai dar 1, mas vai dar um número muito próximo de 1 (valor exato). O >>> que eles estão dizendo (pelo que entendi) é que a diferença para 1 é tão >>> pequena, desprezível, que não será percebida pelo mero visor da >>> calculadora, que normalmente tem precisão de até 8 casas decimais. >>> >>> Att, >>> >>> Caio Costa >>> >>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 18:43, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>>> Boa noite! >>>> Não consegui perceber como vocês chegaram ao valor. >>>> Com respeito, Cláudio, o enunciado fala em número que a mesma coisa que >>>> valor. O número é a ideia e não a representação, portanto 1,000000000 = 1 = >>>> I (representação romana) = 0,99999999.... >>>> Mas se puderem me ajudar e detalhar melhor como dá 1. Agradeço. >>>> >>>> Saudações, >>>> PJMS >>>> >>>> >>>> Em qua, 31 de jul de 2019 às 12:31, Claudio Buffara < >>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> A questão não pede o valor de x(2013) (supondo que x(0) = 2) >>>>> A questão pode o número que aparecerá no visor da calculadora. >>>>> Neste caso, será 1,000000000 (numa calculadora com 9 casas decimais >>>>> após a vírgula). >>>>> >>>>> >>>>> Enviado do meu iPhone >>>>> >>>>> Em 31 de jul de 2019, à(s) 10:50, Rodrigo Ângelo < >>>>> drigo.ang...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>> Parece muito o método de Newton-Raphson pra encontrar zero de >>>>> função, nesse caso, começando em 2 acho que converge pra raÃz positiva >>>>> de x - 1/x que é 1 >>>>> >>>>> Atenciosamente, >>>>> Rodrigo de Castro Ângelo >>>>> >>>>> >>>>> Em qua, 31 de jul de 2019 à s 09:08, Carlos Monteiro < >>>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> Luca tem uma calculadora com um único botão. Se um número x está >>>>>> na tela da calculadora e apertamos seu único botão, o número x é >>>>>> substituÃdo pelo número (2x)/(x^2 + 1). Dado que, inicialmente, o >>>>>> número 2 está na tela da calculadora, qual número aparecerá após >>>>>> apertarmos 2013 vezes seu botão. >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
