RE: [obm-l] Problema de minimizacao
Oi,
Eu nao estou vendo como esta informacao sobre os triangulos pode ser usada,
pelo menos no problema (1). Acho que dados n planos eh sempre possivel
construir sobre eles n triangulos com as caracteristicas desejadas. Eh
inclusive possivel que todos os trinagulos estejam em um mesmo plano.
Se a equacao do plano i eh a_i*x + b_i*y + c_i*z + d_i =0, , entao a
distancia a ele de um pont P = X, y, z) eh, se nao me engano, (a_i*x + b_i*y
+ c_i*z + d_i)/Raiz(a_i^2 + b_i^2 + c_i^2). Logo, somando-se os quadrados de
todas as distancias, temos um problema de minimizacao quadratica. Eh ateh
possivel achar uma solucao analitica pelo calculoDiferencial.
O caso (2) tambem eh uma minimizacao quadratica, pois o quadrado do volume
de cada tertraedro eh o produto do quadrado de sua base pelo quadrado da
distancoa do ponto ao plano do triangulo que eh a base do tetraedro
Artur
Ola a todos da lista
Considere um conjunto T = {T1, T2,... Tn} de triangulos no R^3, tais que a
interseccao de quaisquer dois deles eh vazia, um vertice ou uma aresta
comum.
1) Determine o ponto P que minimiza h1^2 + h2^2 + ... + hn^2, onde hi eh a
distancia do ponto P ao plano que contem Ti
2) Determine o ponto P que minimiza o somatorio dos quadrados dos volumes
dos tetraedros formados por P e cada triangulo Ti
abracos,
#
# MSc. Edson Ricardo de A. Silva#
# Computer Graphics Group (CRAB)#
# Federal University of Ceara (UFC) #
#
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Problema de minimizacao
Oi,
Eu nao estou vendo como esta informacao sobre os
triangulos pode ser usada, pelo menos no problema (1). Acho que dados n planos
eh sempre possivel construir sobre eles n triangulos com as caracteristicas
desejadas. Eh inclusive possivel que todos os trinagulos estejam em um mesmo
plano.
Se a equacao do plano i eh a_i*x + b_i*y + c_i*z + d_i
=0, , entao a distancia a ele de um pont P = X, y, z) eh, se nao me engano,
[Artur Coste Steiner] |a_i*x + b_i*y + c_i*z + d_i] |Raiz(a_i^2 + b_i^2 +
c_i^2). Logo, somando-se os quadrados de todas as distancias, temos um problema
de minimizacao quadratica. Eh ateh possivel achar uma solucao analitica pelo
Calculo Diferencial. Basta igualar a zero as derivadas parciais. Como o problema
eh quadratico, nao hah necessidade de se preocupar com condicoes de segunada
ordem.
O caso (2) tambem eh uma minimizacao quadratica, pois
o quadrado do volume de cada tertraedro eh o produto do quadrado de sua base
pelo quadrado da distancoa do ponto ao plano do triangulo que eh a base do
tetraedro
Artur
Ola a todos da lista
Considere um conjunto T = {T1, T2,... Tn} de
triangulos no R^3, tais que a
interseccao de quaisquer dois deles eh vazia, um
vertice ou uma aresta
comum.
1) Determine o ponto P que minimiza h1^2 + h2^2 +
... + hn^2, onde hi eh a
distancia do ponto P ao plano que contem Ti
2) Determine o ponto P que minimiza o somatorio
dos quadrados dos volumes
dos tetraedros formados por P e cada triangulo Ti
abracos,
#
# MSc. Edson Ricardo de A. Silva #
# Computer Graphics Group (CRAB) #
# Federal University of Ceara (UFC) #
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RE: [obm-l] Problema de probabilidade
Eu acho que este problema nao estah muito bem definido. Acho que deveriamos ter algumas informacoes sobre probabilidades condicionada, como a probabilidae de o turista retornar em um ano dado que no ano antrior foi ou nao aaa cidae em questao. Assumindo que sejam todos eventos independentes, devemos calcular Prob(nao retornar no ano seguite) E retornar (2 anos depois) = (1-0,6)* 0,6 = 0,24 = 24%. Artur Por favor gostaria de uma ajuda para resolver o seguinte problema. Um turista em férias uma cidade e tem 60%de probabilidade de retornar nas próximas férias. Determine qual a probabilidade desse turista não retornar no ano seguinte, porém de retornar um ano depois. Obrigado e um abraco. Amurpe __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Pontos de condensacao em R
Eu gostaria de explorer um pouco mais aquela questao que foi lancada alguns
dias atras pelo Domingos. Vamos tentar provar que, se S eh um subconjunto
nao numeravel de R, entao (1) O conjunto B dos pontos de condensacao
bilaterias de S nao eh numeravel e (2), o conjunto U dos pontos de
condensacao unilaterias de S eh numeravel.
Sabemos que, se P eh o conjunto dos pontos de condensacao de S, entao P eh
fechado e nao numeravel (isto jah foi provadao aqui na lista, para espacos
metricos gerais). Sendo W o complementar de P, temos que W eh aberto e,
portanto, W = Uniao (a_n , b_n), uma uniao numeravel de intervalos abertos
disjuntos 2 a dois. Alem disto, a intersecao de W com S eh numeravel. Temos
entao que P eh dado por uma uniao numeravel de intervalos fechados da forma
[b_n , a_n+1]. Nunca teremos b_n = a_n+1, pois, se isto ocorresse, b_n =
a_n+1 nao seria ponto de condensacao de S. Definamos W* = Uniao [a_n , b_n].
Entao, W* contem todos os reais que nao sao pontos de condensacao de S. Como
os a_n's e b_n's nao pertencem a W, segue-se que sao pontos de condensacao
de S. Da definicao dos intervalos (a_n, b_n), verificamos que os pontos de
S nao podem se condensar aa direita de a_n, pois (a_n, b_n) intersecta S
segundo uma quantidade enumeravel de elementos. Similarmente, nao podem se
condensar aa esquerda de b_n. Logo, os a_n's e b_n's sao pontos de
acumulacao unilaterais.
Ser x e ponto de condensacao de S, entao existe um n tal que x estah em [b_n
, a_n+1]. Suponhamos que b_n x a_n+1. Se os pontos de S nao se
condensarem aa direita de x, existe entao 0eps a_n+1 - x tal que (x,
x+eps) contem apenas uma quantidade numeravel de elementos de S, o que
contraria o fato de todos os elementos de (x, x+eps) sao pontos de
condensacao de S. De modo similar, verificamos que a hipotese de que os
elementos de S nao se condensem aa esquerda de x leva igualmente a
contradicao. Logo, x e ponto de condensacao bilateral de S. Disto concuimos
que B eh dado pela uniao de intervalos abertos da forma (b_n , a_n+1), sendo
assim um conjunto aberto e, portanto, nao numeravel. Isto prova (1). Por
outro lado, U = {a1, b1, a2, b2.}, logo um conjunto numeravel, o que
prova (2).
Temos ainda umas conclusoes interessantes:
(a) Como U = P -B, sendo P fechado e B aberto, segue-se que U eh fechado.
(b) Por ser um subconjunto de U, temos que U inter S, o conjunto dos
elementos de S que sao pontos de condensacao unilateral o mesmo, eh
numeravel.
(c) Temos que P inter S = (B inter S) Uniao (U inter S). Como P inter S nao
eh numeravel e U inter S eh, segue-se que B inter S, o conjunto dos
elementos de S que sao pontos de condensacao bilateral do mesmo, nao eh
numeravel.
(d) Como B eh aberto, todo x de B possui um intervalo aberto I contido em B.
Logo, todo x de B eh ponto de condensacao bilateral de B.
(e) Se x pertence a B inters S e I =(x, eps), eps 0, entao I inter S = (I
inter S inter B) Uniao (I inter S inter U) Uniao (I inter S inter W). Temos
que I inter S nao eh numeravel, I inter S inter U eh numeravel e I inter S
inter W eh numeravel. Logo I inter S inter B nao eh numeravel. Como uma
conclusao similar vale para o intervalo (x-eps, x) , concluimos que se x
estah em B inter S, entao x e ponto de acumulacao bilateral de B inter S.
Espero que isto tudo esteja certo. Eu tenho ainda a impressao de que B inter
S eh aberto e U inter S eh fechado, mas nao provei.
Um abraco
Artur
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[obm-l] RE: [obm-l] sites sobre matemática
Um muito conhecido eh o da MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/ Eh muitro bom. Mas nao estou certo se os arquivos estao em pdf. Artur Subject: [obm-l] sites sobre matemática vcs conhecem algum site onde haja arquivos no formato pdf sobre assuntos como algebra,trigonometria, teoria dos conjuntos e etc, pode ser em ingles. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: Conjuntos não-enumerá veis vs. densos
Para este interessante problema, eu pensei um pouco mais, baseado na observacoa do pedro, e cheguei aa seguinte prova, para a qual peco a opiniao dos colegas. Seja P o conjunto dos pontos de condensacao de S (pontos tais que qualquer vizinhanca do mesmo intersecta S segundo um conjunto nao enumeravel). Como R eh um espaco metrico separavel, P nao eh enumeravel, sendo portanto infinito. Se x pertence a P, entao o interior de qualquer intervalo fechado de comprimento positivo que contenha x tem com S uma interseccao nao enumeravel, logo infinita. Se xy pertencem a P, entao (x,y) contem infinitos (na realidade, incontaveis) elementos de P, logo de S. Isto prova que S contem um subconjunto denso no sentido da definicao apresentada pelo colega Domingos. Achao que este eh o ponto que faltava para fechar a prova. Um abraco Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE:Conjuntos não-enumerá veis vs. densos - um detalhe que esqueci de dizer
Naquela minha ultima mensagem, cabe uma retificacao. O conjunto P eh, na realidade, o conjunto dos pontos de condensacao de S que PERTENCEM a S. Como S nao eh enumeravel e R eh separavel, P nao eh numeravel. Esta eh uma conclusao relativa a espacos metricos separaveis. Se X eh um espaco metrico separavel, S eh um subconjunto nao enumeravel de X e A eh o conjunto dos pontos de condensacao de S, entao, sendo A' o complementar de A, temos que S inter A' eh numeravel e P = S inter A nao eh enumeravel. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumerá veis vs. densos
.
Mas se S for fechado, eu acho que dah para provar. Segundo o teorema de
Cantor Bendixon, S eh entao dado pela uniao de um conjunto numeravel com
um
conjunto perfeito P. Como S nao eh numeravel, P nao eh vazio e nao eh
numeravel (na reta real, conjuntos perfeitos nao sao numeraveis). Como
todo
elemento de P eh ponto de acumulacao de P, segue-se que, se x e y estao em
P
e xy, entao existe em P algum z tal que xzy.
x e y, sendo de acumulacao, talvez fossem acumulados por pontos externos
ao intervalo [x,y]. E isso nao garantiria o z entre x e y. Talvez agum
detalhe a mais conserte isso.
Estah parecendo que nao. Acho p que a prova vai ter que seguir outro
caminho.
Eu esbocei uma demonstracao desse resultado mas e' bem diferente da sua.
Outra coisa interessante. Segundo essa definicao de conjunto denso,
alguns conjuntos densos tem um aspecto meio estranho. Por exemplo: S =
[0,1) uniao {2} e' denso. Isso vai contra aquela intuicao de que todos
os pontos deveriam ser de acumulacao.
Eu acho que esta nao eh a definicao usual.
Artur
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[obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
Oi Domingos. Acho que fica mais facil raciocinar por contraposicao. Se S nao
contiver um subconjunto denso, entao ou S se reduz a um unico elemento -
sendo portanto numeravel - ou entao, para cada x em S, existe y em S tal que
entre x e y nao a hah qualquer elemento de S. Quer dizer, cada elemento de S
esta esprimido entre dois intervalos abertos (eventualmente com um dos
pontos extremos em - inf ou + inf) contidos no complemento de S. Desta
condicao decorre automaticamente que, para todo x de S, podemos escolher um
eps0 suficientemente pequeno tal que o unico elemento de S em (x-eps,
x+eps) seja o proprio x. Todo elemento de S possui portanto uma vizinhanca
que contem apenas um elemento de S. Vale dizer que nenhum elemento de S eh
ponto de acumulacao do mesmo e, menos ainda, ponto de condensacao (Dizemos
que x e ponto de condensacao de S se toda vizinhanca de x contiver
incontavelmente muitos (expressao tirada do Inglês - uncountably many - nao
me ocorreu uma melhor) elementos de S). Como R eh separavel, subconjuntos de
R que nao possuam pontos de condensacao sao automaticamente numeraveis.
Logo, S eh numeravel.
Acho que podemos ver isto sem o conceito de ponto de condensacao. Vimos que
cada x de S estah contido em um intervalo aberto I_x que nao contem nenhum
outro elemento de S. Tomemos a colecao {I'_x}, onde cada I'_x tem centro em
x e raio igual aa metade do raio p de I_x. Podemos assim garantir que
{I'_x} eh uma colecao de intervalos disjuntos dois a dois e que cobre S. Hah
portanto uma bijecao enter S e {I'_x}. Escolhendo-se em cada I'_x um
racional, vemos que hah uma bijecao entre {I'_x} e um subconjunto dos
racionais. Logo, {I'_x} eh numeravel e, portanto, S tambem eh.
Observemos que podemos escolher este racional construtivamente, sem recorrer
ao Axioma da Escolha. Enumeremos os racionais, por exemplo, por aquele
classico processo em diagonal, e, na sequencia obtida, escolhamos I'_x assim
que um racional cair nele.
Espero que esteja certo.
Artur
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S
que
é denso (ie: para todo x y em T existe z em T com x z y).
Obrigado.
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RE: [obm-l] Analise em R
De fato. Para todo x real, nao apenas para x0. A funcao de Dirichlete, de fato, nao eh bijetora. Artur 1/x pra x 0 racional -1/x pra x 0 irracional 0 pra x=0 Me parece que essa função é uma bijeção descontínua em todos os pontos. (zero inclusive) Will - Original Message - From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, December 06, 2003 11:59 AM Subject: Re: [obm-l] Analise em R = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Analise em R
Esta funcao eh continua em x =0...Para todo eps0, basta fazermos d=eps e, para todo x tal que |x| delta, temos |f(x) - f(0)| = |f(x)| eps. Para x0 a funcao eh de fato descontinua. Mas um classico exemplo eh a famosa funcao de Dirichlet: f(x) =1 se x eh racional e f(x) = 0 se x for irracional. Como entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais e de irracionais, torna-se impossivel satisfazer aa condicao eps- delta de continuidade qualquer que seja o real x. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Felipe Pina Sent: Friday, December 05, 2003 8:37 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Analise em R hmm tente o seguinte... f(x) = x se x é racional -x se x é irracional On Fri, 5 Dec 2003 20:00:41 -0200, Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao estou conseguindo resolvero exercicio 15 da pag 194 do livro Curso de Analise Vol 1 do Elon. Segue o problema: 15. Defina uma bijecao f: R - R que seja descontinua em todos os pontos. Nao visualizei nada. Pensei em construir uma funcao que tivesse em todos os pontos x limites laterais diferentes, mas nao consegui avancar. Alguem tem alguma ideia? - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] http://grandeabobora.blogspot.com UIN 114153703 -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração
Na realidade eh |cos(x)| |sen(x)/x| 1, para x0 Trace um circulo trigonometrico. Para facilitar, considere um arco do 1o quadrante. Trace o raio correspondente a este arco. Prolongue o segmento deste arco ateh que ele encontre a tangente ao circulo tracada pelo ponto (1,0), originando um segmento t. sen(x) eh entao a perpendicular tracada ada extremidade do arco ao eixo X; x eh o comprimento do arco; e t eh a tangente trigonometrica de x. Da Geometria Euclidiana, temos entao que sen(x) x tan(x)= sen(x)/cos(x). Como estamos no 1o quadrante, todos este numeros sao positivos, o que nos leva a 1 x/sen(x) 1/cos(x) e a cos(x) sen(x)/x 1. Nos outros quadrantes, igual raciocinuo nos mostra que estas desigualdades valem para os valores absolutos. Logo, para todo real x0, |cos(x)| |sen(x)/x| 1. Isto nos permite concluir o famosos limite lim x-0 sen(x)/x =1. Sob o ponto de vista de rigor matematico, esta demonstracao, baseada em geometria, eh um tanto imprecisa. Mas ela dah uma excelente visao do que estah acontecendo. Artur Olá pessoal, Estou tendo problemas na resolução da seguinte demonstração: Preciso demonstrar que cos(x) sen(x)/x 1 A demonstração de que o cos(x) e o sen(x)/x são menor do que 1 eu consegui fazer, o problema é quando preciso provar que cos(x) sen(x)/x. Desde já agradeço qualquer ajuda. Abraços Cloves Jr attachment: winmail.dat
RE: [obm-l] Permutacoes Caoticas
Obrigado, Claudio! O nome permutacao caotica eh um tanto estranho, certo? Artur Correcao: abaixo, onde eu disse funcao, deveria ter dito BIJECAO... assim, uma permutacao caotica de [n] eh uma bijecao F: [n] - [n] sem pontos fixos. == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] alg-lin
Boa noite. Embora nos livros que eu jah tive oportunidade de ver isto nao esteja categoricamente destacado, parece-me implicito que o(s) autovalor(es) de um operador devam estar no mesmo corpo sobre o qual o operador eh definido. Acho que isto eh de fato mais logico, pois a utilidade do conceito de autovalor estah diretamente ligada aa existencia dos autovetores. Dado que no seu exemplo o corpo do operador linear eh o conjunto dos reais, parece-me mais logico dizer que ele nao tem autovalores, da forma que, quando considerados sobre o corpo dos reais, o polinomio P(x) = x^2 - 2x + 2, assim como a funcao f(x) = e^x + 1, nao tem raizes. Se extendermos o corpo de definicao para os complexos, entao eh diferente. Parece-me tambem que consideracoes deste tipo sao gerais, estao restritas ao universo em que se trabalha. Por exemplo, se vc estah trabalhando com algoritmos de otimizacao, entao o conceito de solucao otima so faz sentido no universo que eh o conjunto das solucoes consideradas viaveis. Se algum vetor x maximiza ou minimiza sua funcao objetivo mas nao pertence ao conjunto viavel, entao ele nao eh solucao otima, pois sequer eh uma solucao. Abracos Artur Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Integral de uma funcao nula em quase todo um intervalo
Boa tarde Suponhamos que f:I - R, I = [a,b], seja Riemann integravel em I e nula em quase todo o I. Podemos entao afirmar que Integral (sobre I) f(x) dx = 0? Eu tenho quse certeza que sim, mas me enrolei na prova. Segundo o criterio da integrabilidade de Lebesgue, o conjunto das discontinuidades de f em I tem medida nula, porem nao estamos assumindo que f eh continua nos pontos em que eh nula. Eu tentei comparar com o caso da funcao de Thomae, mas esta funcao eh continua e nula nos irracionais e descontinua nos racionais que, por serem numeraveis, tem medida nula. Nao eh exatamente o caso da f acima. Al;guem poderia dar alguma sugestao? Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] O problema do camelo
Fiz as contas e não resisto. Se eu não errei nada, o camelo precisa de aproximadamente 4.854 * 10^11 litros. Mais exatamente, 485367037627.9977897968 litros. Isto é um pouco menos do que os 592731741234 encontrados na mensagem anterior (mas a ordem de grandeza estava certa). É completamente irreal imaginar que o camelo ainda vai estar vivo no final, claro. Aliás, que quantidade de água é esta (comparando com o volume de algum rio, por exemplo)? Eh aproximadamente a quantidade de agua que passa pelo rio Xingu em 18,6 horas, considerando-se a vazao media de longo termo (media aritmetica das vazoes mensais dos ultimos 60 anos) de 7231 m3/s. Na cheia, quando a vazao jah atingiu 28629 m3/s, este volume de agua passa em cerca de 4,7 horas. Mas na epoca da seca, seriam necessarias 552,6 horas ~= 23 dias para passar esta agua toda, considerando-se a vazao de 244 m3/s, a menor, em termos medios mensais, jah verificada desde 1931. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Integral
Oi Henrique! Nao entendi direito o que o livro fez, mas eh possivel que ele tenha utilizado um processo que permite calcular esta integral. Esta funcao eh muito importante, pois eh semelhante aparece na funcao densidade de probabilidae da distribuicao normal quando temos média zero e desvio padrao 1. Neste caso, temos e^(-x^2/2) Seja I a integral desejada. Temos emtao que I^2 pode ser dado pelo produto de duas integrais en duas variaveis distintas, isto eh, I^2 = Int(-inf a +inf) e^(-x^2) dx * Int(-inf a +inf) e^(-y^2) dy. Observe que as duas integrais tem limites fixos, no caso - e + infinito. Se considerarmos o plano XY, temos portyanto que este produto de integrais pode ser visto como uma unica integral dupla com limites de integracao independentes. Ist eh, I^2 = Integral (-inf a +inf) Integral (-inf a +inf) e^(-x^2) * e^(-y^2) dx dy = Integral (-inf a +inf) Integral (-inf a +inf) e^(-x^2 - y^2) dx dy Vamos agora introduzir coordenadas polares, isto eh, x = r cos(t), y = r sen(t). Como estamos integrando sobre todo o plano XY (o conjunto R^2) temos que r varia de 0 a inf e t varia de 0 a 2pi. O elemento de area dx dy, conforme sabemos, eh entao equivalente a r dr dt (usando a notacao de Leibiniz). A nosa integral entao fica I^2 = Integral (0 a 2pi) Integral (0 a inf) e^(-r^2) r dr dt. Lembro que estas passagens sao possiveis porque os limites de integracao sao independentes das variaveis de integracao. Em razao disto, podemos, para facilitar, transformar esta ultima integral no produto de duas outras muito simples: I^2 = Integral (0 a inf) e^(-r^2) r dr * Integral (0 a 2pi) dt. Podemos agora aplicar o T. Fundamental do calculo Integral para concluir que I^2 = [-1/2 e^(-r^2)] (0 a inf) * [t] (0 a 2pi) = 1/2 * 2pi = pi E como I eh claramente positivo, temos que I = rai(pi). Um resultado um tanto surpreendente, pois, aparentemente, a integral nada tinha a ver com pi! Espero que eu nao tenha feito nehnum engano nas passagens. Mas um dos processos para resolver esta integral eh este. Acho que existe outro, envolvendo funcoes complexas e transf. De Fourier, mas agora nao me lembro. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] rio.br] On Behalf Of Henrique Patrício Sant'Anna Branco Sent: Friday, November 14, 2003 10:36 PM To: OBM Subject: [obm-l] Integral Pessoal, Dando uma olhada no livro Um Curso de Cálculo, Vol.3 do Guidorizzi, ele mostrava o cálculo da integral de e^(-x^2), de -infinito a +infinito. Logo no começo do cálculo, ele faz I(r) = int e^(-x^2) dx de r a -r = int e^(-y^2) dy de r a -r Não entendi direito essa passagem, ele simplesmente troca o x por y? Alguém sabe explicar? Grato, Henrique. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade
Oi Paulo! Inicialmente, gostaria de parabeniza-lo pelo excelente texto que vc mandou para a lista hah alguns dias, pegando um gancho numa observacao que eu fiz a respeito de um professor de Fisica que tive (para que nao fique uma impressao errada, friso que ele eh um excelente fisico, grande pessoa e, apesar de nao gostar muito de detalhes matematicos, conhece profundamente matematica). Eu tenho uma duvida, infelizmente ainda nao tive oportunidade de me aprofundar em T da Relatividade. Na Fisica classica de Newton, temos a classica equacao f = ma (forca = massa * aceleracao). Mas eu jah li que, na Fisica de Einstein, temos que f = d/dt(m*v), isto eh, forca eh a derivada com relacao ao tempo da quantidade de movimento (momentum linear) m*v. Se admitrimos a massa consatante, chegamos aa equacao de Newton. Mas, na T. Da Relatividae, a massa varia com o tempo segundo a famos equacao Einstein v = v_0/Raiz(1 - v^2/c^2). Minha duvida eh, com relacao a que tempo devemos derivar o momentum linear? Qual passa a ser o verdadeiro significado de t? Hah muito tempo livro entao em voga, do fisico ingles Stephen Hawkins (nao estou certo a respeito do sobrenome), Uma breve Historia do Tempo Nao sei se no original o autor escreveu story ou history...nao eh a mesma coisa. Mas eu li a traducao em Portugues, que foi extremamente infeliz, e nao gostei do livro. Mas la me chamou a atencao que Hawkins dizia que o tempo podia ser visto como uma variavel complexa. Isto faz sentido? Um abraco Artur PS.: Recomendo a todos que, em se tratando de livros tecnicos ou cientificos, deem preferencia, sempre que possivel, aa obra original. No caso de Einstein, infelizmnete, a maioria dos originais estah em alemao, pois foram scritos antes que ele se refugiasse nos Estados Unidos, creio que fugindo dos nazistas de Hitler na epoca da segunda guerra mundial -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] rio.br] On Behalf Of Paulo Santa Rita Sent: Saturday, November 15, 2003 8:20 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade Ola a todos ! Para uma boa compreensao de como o PRINCIPIO DA ANTECEDENCIA DAS CAUSAS esta implicitamente pressuposto ( gratuitamente ) na Teoria da Relatividade, uma exposicao lucida pode ser vista em : http://ghtc.ifi.unicamp.br/pdf/ram-29.pdf Um abraco aTodos Paulo Santa Rita 7,2018,151103 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Principio implicito na Teoria da Relatividade
No meu outro email eu escrevi a equcao de Einstein erradamente. Eu quis dizer m = m_0/Raiz(1-v^2/c^2), onde m eh a massa de um corpo, m_0 a sua massa quando em repouso, v a velocidade do corpo e c a velocidade da luz. [Artur Coste Steiner] Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] [u] - Espaços Top.
Oi Duda,
Em espacos topologicos gerais, as duas condicoes nao sao equivalentes.
Eh verdade que, se um espaco topologico tem uma base numeravel, entao
ele eh separavel; a reciproca, porem, nao eh verdadeira.
Em espacos topologicos metrizaveis, entretanto, as duas condicoes sao de
fato equivalentes.
Para vermos que a primeira condicao acarreta a segunda, seja {B_n} uma
base enumeravel de X. Em cada B_n nao vazio, escolhamos um elemento a_n
(recorrendo ao nosso controverso mas bem vindo amigo Axioma da
Escolha!). Sendo A o conjunto dos a_n, temos imediatamente que A eh
numeravel. Para todo x em X, existe uma vizinhanca basica B_n que contem
x. E como B_n contem a_n, segue-se que B_n intersecta A. Logo, o fecho
de A eh o proprio X, o que nos mostra que X contem um subconjunto denso
e numeravel. Concluimos portanto que X eh separavel.
Suponhamos agora que X seja um espaco metrico separavel, com metrica d,
e seja A um subconjunto denso e numeravel do mesmo. Consideremos a
colecao B das bolas abertas de centros nos elementos de A e raios
racionais. Temos entao que B eh numeravel. Se V eh um subconjunto aberto
nao vazio de X e v pertence a V, entao existe uma bola aberta B_v, de
centro em v e raio r, contida em V. Como A eh denso em X, existe um
elemento a em A tal que d(a,v)r/2. Se s eh um racional satisfazendo a
d(a,v)sr/2 (este racional s certamente existe), entao a bola aberta
B_a, de centro em a e raio s, contem v e estah contida em B_a V. Como
B_a eh um membro de B, concluimos que B eh uma base para X, pois todo
aberto de X eh dado pela uniao de membros de B.
Logo, no caso de espacos metricos -e, portanto, de espacos topologicos
metrizaveis - as duas condicoes sao equivalentes.
Uma outra conclusao valida em todo espaco topologico X que tenha uma
base numeravel eh que toda cobertura aberta de X contem uma
sub-cobertura numeravel.
Um abraco
Artur
Olá pessoal!
Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma
topologia,
isto é:
1) vazio e X estão em T
2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T
3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T.
Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as
unições
possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia
separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo
elemento de
T tem interseção não-vazia com D.
Minha pergunta.
Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B
enumerável?
Abração a todos!
Duda.
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[obm-l] RE: [obm-l] quociente de funcoes continuas é continua?
Oi Niski Se f e g sao definidas em um dominio D, tem valores em R, sao continuas em um elemento p de D e g(p)0, entao f/g eh de fato continua em p. Mas se g(p)=0, entao f/g nao eh definida em p, e os conceitos de continuidade e de descontinuidade simplesmente nao se aplicam a p. Observe entretanto que, se g(p)0, entao eh possivel que f e g sejam ambas descontinuas em p e que, ainda assim, f/g seja continua em p. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Tuesday, November 11, 2003 6:25 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] quociente de funcoes continuas é continua? O quociente de funcoes continuas é continua? Se sim, sempre mesmo? obrigado. niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = attachment: winmail.dat
RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Oi Niski!
Se uma funcao eh continua em um elemento de seu dominio, entao ela eh
continua com relacao a qualquer direcao segundo a qual nos aproximamos
do elemento em questao. E a reciproca eh verdadeira. Em termos um pouco
mais precisos: Se f eh definida em um subconjunto D de R^n, tem valores
em R^m e eh continua em a (a em D, eh claro), entao, para todo eps0
arbitrariamente escolhido, existe um d0 tal que, se x estah em D e
||x-a||d, entao ||f(x) - f(a)|| eps. (|| significa a norma
Euclidiana). Vale dizer que, se escolhermos qualquer direcao em R^n e
nos aproximarmos de a segundo a mesma, entao o valor de f, computado
deslizando-se sobre a direcao escolhida vai se aproximar suavemente
de f(a).
Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f
(isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a
qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer
curva continua que passe por a). O autor tomou um caso bem simples, a
reta bissetriz do eixos no primeiro quadrante, e mostrou que a resticao
de f a esta reta nao eh continua em 0. E disto concluiu que f nao eh
continua em 0. Para mostrar descontinuidade, basta achar uma direcao em
que isto ocorra. Mas para provar a continuidade de f, eh preciso
garantir que sua restricao a toda e qualquer reta que passe por a eh
continua. Parece injustica, nao? Mas, na vida, geralmente eh mais facil
destruir do que construir.
Se isto eh um argumento geometrico ou algebrico? Acho que ambos, a
matematica eh coerente com ela mesma. Eu entretanto prefiro dizer que eh
um argumento analitico.
Abracos
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski
Sent: Sunday, November 09, 2003 12:56 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Ola pessoal.
Estava lendo no meu livro (Um curso de calculo, vol.2 do Guidorizzi) e
em certo ponto ele quer mostrar que a função
f(x,y) = { (xy)/((x^2) + (y^2)) se (x,y) != (0,0)
{ 0 se (x,y) = (0,0)
Não é continua em (0,0).
Eu tentaria calcular o limite. Se não desse 0, a função não seria
continua e acabou.
Mas ele faz isso.
A composta de f com a reta gamma dada por gamma(t) = (t,t) é
g(t) = f(t,t) = { 1/2 se t != 0
{ 0 se t = 0
Como gamma é continua em t=0 e a composta g(t)=f(t,t) não é continua em
t=0, resulta que f não é continua em (0,0)
Não entendi muito bem. Isso é mais um argumento geometrico ou
algebrico!? O que realmente significa a composta de f com a reta
gamma(t) ?? Porque só pelo fato da composta não ser continua f
automaticamente não é continua?!
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Niski
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RE: [obm-l] Continuidade de funcoes.
Sem duvida! Precipitacao. O que eu devia ter dito eh que, se for continua em a, entao a restricao de f a qualquer reta passando por a eh continua em a. A reciproca nao eh verdadeira. A menos que, em vez de reta, eu me referisse a qualquer curva continua passando por a, certo? (ou usasse a definicao de continuidade em termos de sequencias no dominio de f que convergem para a). No exemplo dado, temos ateh que todas as derivadas direcionais de f existem e sao nulas em a - mas f nao eh continua em a. On Sun, Nov 09, 2003 at 02:12:00PM -0200, Artur Coste Steiner wrote: Dito de forma mais tecnica: f eh continua em a sse a restricao de f (isto eh, a funcao obtida restringindo-se f a um subconjunto de D) a qualquer reta que passe por a a eh continua (na realidade, a qualquer curva continua que passe por a). A afirmação acima é infelizmente incorreta. Seja f: R^2 - R definida por f(x,y) = 1 se x^2 + y^2 = 1 e x 1, 0 caso contrário. Se tomarmos a = (1,0) então a restrição de f a qq reta passando por a é contínua em a mas f claramente não é contínua em a. Observe que se em vez de uma reta você tomar o círculo unitário a restrição fica sendo descontínua. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE:
Esta pergunta tem um carater bastante filosofico. Em termos matematicos,
eu diria que o infinito eh uma tendencia. Dizemos que uma quantidader
tende ao infinito se for possivel torna-la maior do que qualquer numero
real previamente escolhido. Assim, temos que a funcao dada por f(x) = x,
x real, tende ao infinito quando x tende porque, para todo M0, temos
f(x) M para xM.
Em termos de conjuntos, talvez fique mais claro definir antes o que eh
um conjunto finito. Um conjunto eh finito se puder ser colocado em
correspondencia bi-univoca com um segmento inicial do conjunto dos
naturais, ou seja, um conjunto da forma {1,...n}, n natural. Eh um
conjunto eh infinito se nao for finito. Isto equivale a dizer que um
conjunto eh infinito se houver uma bijecao entre ele e um subconjunto
proprio do mesmo.
Mas se vc estah abordando o sentido filosofico do conceito de infinito,
aih eh uma questao para outro forum.
Artur
Subject:
o que, em verdade, é o infinito?
_
Quer ajudar o Brasil e não sabe como?
AjudaBrasil: http://www.ajudabrasil.org/mail.html.
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[obm-l] Aleph
Bom dia a todos os amigos Eu tenho algumas duvidas a respeito destes conceitos de conjuntos Aleph 0, Aleph 1, etc. Alguem poderia falar um pouco sobre isto, apresentar algumas ideias? Obrigado. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
