[obm-l] análise real
Seja f: I-->IR contínua no ponto a interior ao intervalo
I. Suponha que existe L real tal que
lim [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n - x_n] = L
para todo par de sequencias {x_n}, {y_n} em I com x_n < a < y_n e lim x_n = lim
y_n = a.
Prove que f é derivavel no ponto a e f'(a)=L. Mostre que a hipótese de f ser
contínua no ponto a é indispensável.
Se alguem puder me ajudar, eu agradeço.
abs,
Jefferson
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise real
Na verdade, a minha dúvida é somente mostrar que é derivável. Eu consigo
mostrar que é necessário que f seja contínua.
abs,
Jefferson
On Thu, 2011-02-10 at 07:54 +0100, Bernardo Freitas Paulo da Costa
wrote:
> 2011/2/10 Jefferson Chan :
> > Seja f: I-->IR contínua no ponto a interior ao intervalo
> > I. Suponha que existe L real tal que
> >
> > lim [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n - x_n] = L
> >
> > para todo par de sequencias {x_n}, {y_n} em I com x_n < a < y_n e lim x_n =
> > lim y_n = a.
> > Prove que f é derivavel no ponto a e f'(a)=L. Mostre que a hipótese de f
> > ser contínua no ponto a é indispensável.
> Oi Jefferson. Qual é a parte que tá dando problema ? Mostrar que é
> derivável? Ou que é necessário que f seja contínua em a ? (são duas
> idéias diferentes que você precisa ter)
>
> Abraços,
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] análise real
Obrigado pela ajuda.
abs,
Jefferson
On Thu, 2011-02-10 at 11:25 -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> As condições dadas implicam que, para todo eps > 0, exista delta > 0 tal que,
> se x < a < y e y - x < delta, então |(f(y) - f(x))/(y - x) - L | < eps (1).
> Para todos x e y com a < y < a + delta/2 e a- delta/2 < x < a, temos então
> que (1) é satisfeita. Mantendo-se y fixo e fazendo x --> a+, o fato do f ser
> contínua em a implica, em virtude de (1), que |(f(y) - f(a))/(y - a)- L| <=
> eps (2). Como eps é arbitrário e, para todo eps > 0 podemos encontra delta
> que satisfaça a (2), concluímos que lim y --> a- (f(y) - f(a))/(y - a) = L.
> Logo, f'(a-) existe e iguala-se a L.
> De forma similar, mostramos que f'(a+) = L, de modo que f é derivável em a
> com f'(a) = L.
>
> É de fato fácil ver que a diferenciabilidade em a é essencial. Basta tomar a
> = 0 e f(x) = x^2, se x <>0, e f(0) = 1
>
> Abraços
> Artur
>
>
>
>
> -Mensagem original-
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
> Jefferson Chan
> Enviada em: quinta-feira, 10 de fevereiro de 2011 08:08
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise real
>
> Na verdade, a minha dúvida é somente mostrar que é derivável. Eu consigo
> mostrar que é necessário que f seja contínua.
>
> abs,
> Jefferson
>
> On Thu, 2011-02-10 at 07:54 +0100, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> wrote:
> > 2011/2/10 Jefferson Chan :
> > > Seja f: I-->IR contínua no ponto a interior ao intervalo
> > > I. Suponha que existe L real tal que
> > >
> > > lim [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n - x_n] = L
> > >
> > > para todo par de sequencias {x_n}, {y_n} em I com x_n < a < y_n e lim x_n
> > > = lim y_n = a.
> > > Prove que f é derivavel no ponto a e f'(a)=L. Mostre que a hipótese de f
> > > ser contínua no ponto a é indispensável.
> > Oi Jefferson. Qual é a parte que tá dando problema ? Mostrar que é
> > derivável? Ou que é necessário que f seja contínua em a ? (são duas
> > idéias diferentes que você precisa ter)
> >
> > Abraços,
>
>
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[obm-l] funçao de classe C^infinito
Alguem consegue pensar num exemplo de uma função f:R-->R de classe C^infinito tal que |f'(x)|<1 e f(x)!=x para todo x real? abs, Jefferson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] funçao de classe C^infinito
Obrigado pela ajuda de todos. Bom, eu dei uma olhada nas funções sugeridas pelo Ralph e eu encontrei um "furo": independente do C que eu escolha, eu sempre terei f'(0)=1 (nas duas funções), o que é proibido. abs, Jefferson On Sat, 2011-02-12 at 01:12 +0100, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: > Bom, obviamente, eu também esqueci uma coisa na minha função: falta > que arctg(x)/100 seja sempre positiva, logo basta somar 1/2 e aí dá > certo... > > 2011/2/11 Bernardo Freitas Paulo da Costa : > > 2011/2/11 Jefferson Chan : > >> Alguem consegue pensar num exemplo de uma fun챌찾o f:R-->R de classe > >> C^infinito tal que |f'(x)|<1 e f(x)!=x para todo x real? > > Bom, eu tinha pensado no seguinte, antes de todas essas mensagens > > (que, mais uma vez, são muito melhores do que só isso): > > > > Seja h : R -> (0,1) C^infinito monótona decrescente e com h'(t) > -1 > > para todo t. > > Basta agora por f(x) = x + h(x) > > > > Bom, agora "basta" verificar que uma tal h existe, mas parece bem mais > > simples. E na verdade é muito fácil por duas razoes: primeiro, porque > > R e (0,1) são topologicamente a mesma coisa, e se você pensar em > > "variedades diferenciáveis", também, o que quer dizer que existe uma > > tal função. Se isso não convence, veja que arctg(x)/100 satisfaz isso > > (e é uma bijeção C^infinito na imagem, olha que legal). > > > > Aliás, se você ler as mensagens do Ralph, vai ver *exatamente* como eu > > pensei nisso. Curioso... > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] integração
Seja f:R->R derivável, tal que f(0)=0 e, para todo x real, vale f'(x)=[f(x)]^2. Mostre que f(x)=0 para todo x real. Eu tentei usar o TFC, mas nao consegui ir muito longe. Alguma sugestão? abs, Jefferson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] sequencia de funções
Seja f: I->R uma função que é contínua em todos os pontos do intervalo I, salvo em um único ponto c. Obtenha uma sequencia de funções contínuas f_n: I->R tal que lim f_n = f pontualmente. abs, Jefferson = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
