[obm-l] Problemas sistema de equações
Boa tarde pessoal, vi um exercício simples no livro que dizia o seguinte: No pingue pongue cada vez que uma pessoa perde a partida ela sai e entra outro para jogar. Sabe-se que Paulo jogou 17 partidas, Rui jogou 13 e Ari jogou 12. Pergunta-se quantas partidas foram disputadas. A resposta é fácil (17 + 13 + 12)/2 = 21. A primeira pergunta que me fiz foi: 1) Será que é sempre possível chutar números de partidas que cada um realizou e perguntar quantas partidas foram realizadas? Depois eu me perguntei: 2) como posso calcular quantas partidas cada um jogou com o outro, por exemplo, quantas partidas Rui jogou com Paulo? Esta também consegui resolver, pois Rui jogou com Paulo 9 e com Ari jogou 8 e Ari jogou com Rui 4 partidas, para isso temos que resolver um sistema, ok. Agora vem a pergunta que não sei responder: 3) Quantas partidas cada um deles ganharam? Outra que não sei responder (esta me parece que tem várias possibilidades) 4) E se o exercício fosse com 4 pessoas, por exemplo, A jogou 12, B 14, C 15 e D 19. Quantas partidas A jogou com B, por exemplo? Se alguém puder me ajudar agradeço. []s Raphael -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Olá João, fiz de uma maneira diferente da solução do João Maldonado. Vamos lá: Primeiro, eu pensei em colocar Felipe(A), Fernando(B) e Lewis(C) nessa ordem e espaços(---) para colocar os outros pilotos(D, E e F): ---A---B---C--- Separei e três casos: 1) Tendo só 1 piloto em um dos espaços. Temos C(4,3).3!=24 ( primeiro escolher 3 dos 4 espaços e depois permutar os três pilotos:D, E e F) 2) Tendo 1 piloto em 1 espaço e 2 em um outro espaço Temos C(4,2).(3.2).2 = 72 (primeiro escolher 2 espaços dentre os 4 e depois escolher 2 pilotos para ficar no primeiro espaço e o outro deve portanto ficar no segundo espaço, mas deve-se multiplicar por 2 pois 1 pode ficar só no primeiro espaço e os outros 2 no segundo espaço) 3) Os três pilotos ficarem todos no mesmo espaço Temos 4.3! = 24 (primeiro escolher uma das 4 posições e depois permutar os três pilotos) Temos pelo princípio aditivo: 24 + 72 + 24 = 120 possibilidades do Felipe se tornar campeão. Espero que tenha ajudado! []s Raphael P.S.: caso não esteja muito claro eu tento explicar melhor De: Joâo Gabriel Preturlan Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Julho de 2011 3:02 Assunto: [obm-l] Combinatória Olá, colegas. Peço ajuda no seguinte problema, já achei algumas respostas; mas não estou certo de nenhuma delas: “A última corrida do campeonato de Fórmula 1 será disputada por 6 pilotos, que receberão pontos distintos dependendo de sua posição de chegada. Para Felipe ser campeão do campeonato é necessário que ele fique a frente de Fernando e que este fique a frente de Lewis. Em quantas das classificações possíveis o Felipe pode se tornar campeão nesta prova?” []’s João
Re: [obm-l] Duvida em probabilidade
Olá Bruno, você só tem 1 possibilidade de sair o evento:"ser escolhido Ruth e Pedro". E o espaço amostral é combinação de 6 tomados 2 a 2. Repare que não importa se escolhe Ruth e depois Pedro e vice-versa, pois todos os dois são escolhidos, e é isso que está sendo pedido na questão. Poratnto a probabilidade é 1/15. []s Raphael De: Bruno Carvalho Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 2 de Julho de 2011 22:30 Assunto: [obm-l] Duvida em probabilidade Prezados, boa noite. Fiquei em duvida quanto a resposta de um problema muito simples de probabilidade ,mas a dúvida surgiu e não consigo explicá-la. E peço a vocês que me mostrem o erro que por ventura esteja cometendo. è o seguyinte: Seis alunos de um colégio , entre eles Ruth e Pedro,tiraram notas muito boas em matematica.Desses seis alunos, dois serão sorteados para participar de um curso em uma outra cidade.Qual a probabilidade de que os sorteados sejam Ruth e Pedro ? Minha dúvida: Solução 1 :Considerar Casos possíveis=6 e favoraveis igual a 2 ==>probabilidade =1/3. Solução 2 : Imaginar que seria um problema semelhante como a retirada de duas bolas simultaneamente de uma urna .Se pensar desse modo tal problema equivale a retirar uma bola de cada vez ,sem reposição.Isto é: as saidas poderiam ser: RP ou PR logo numericamente, teremos : 1/6*1/5+ 1/5*1/6==> 2/30 ou 1/15.. Confesso que senti um pouco de simpatia pela solução 2. Sei que a lista se ocupa de problemas muito mais complexos e interessantes.Mas se for possível me dar atenção ficarei muito agradecido , Um abraço e muito obrigado bruno
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Olá Pedro, estou aproveitando um pouco minhas férias para olhar os exercícios da lista. Na questão 1: Se a urna 2 recebeu uma bola branca então a probabilidade da bola ser branca é de (z+1)/(v + z + 1). Se a urna 2 recebeu uma bola vermelha então a probabilidade da bola ser branca é de (z)/(v + z + 1). Logo a probabilidade total é a soma dessas probabilidades, i.e., (2z+1)/(v + z + 1). Na questão 2: É usar o Teorema de Bayes P(urna 2/ouro) = [ P(urna 2 interseção ouro]/ P(ouro) = (1/2 . 1)/ (1/2 . 1 + 1/2 . 1/2) = 2/3. Na questão 3: Você escreveu "suponha que" e depois não disse o quê. Acho que tá incompleta. Na questão 4 utilizei a árvore para resolver. item a 1/2 item b 1/6 item c (1/2 . [(2/3)^n] ) / (1/2.[(2/3)^n] + 1/2 . [(1/3) ^ n] ) Espero ter ajudado, []s Raphael Alcaires --- Em seg, 18/1/10, Pedro Costa escreveu: De: Pedro Costa Assunto: [obm-l] Dúvidas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 18 de Janeiro de 2010, 20:44 1)A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas brancas e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca? Solução P(A)=P(A/B_1) P(B_1) +P(A/B_2)P(B_2) usando essa expressão probabilidade total , não dando certo, por que? O que estou errando? P(A/B_1) = x/x+y P(B_1) = ? 2) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto na urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? Usaremos fórmula Bayes? 3)Prove ou dê um contra-exemplo. (Suponha que . c. Se a = P(A) e b = P(B), então P(A/B) >= a + b – 1/b 4) O dado A tem 4 faces vermelhas e 2 faces azuis, e o dado B tem 2 faces vermelhas e 4 faces azuis. O seguinte jogo é praticado: Primeiro uma moeda é lançada uma única vez. Se sair cara o jogo continua lançando sucessivamente o dado A enquanto se sair coroa o jogo continua lançado sucessivamente o dado B. a. Mostre que a probabilidade de sair vermelho em qualquer lançamento é 1/2. b. Se os dois primeiros lançamentos do dado resultam em vermelho, qual a probabilidade de aparecer vermelho no terceiro lançamento? c. Se vermelho aparece nos n primeiros lançamentos, qual a probabilidade de que o dado A esteja sendo usado? . Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da soma / difer ença (feita geometricamente)
Olá Marcelo vi uma demonstração bem legal. Seja ABC um triângulo cujo ângulo A vale (a+b) e tal que a altura traçada do vértice A divida esse ângulo A em dois ângulos de medidas a e b. Utilize a fórmula de área de triângulo: S = 1/2 xysen(alfa), onde alfa é o ângulo formado pelos lados x e y. Use essa fórmula para os dois triângulos formados e para o triângulo ABC. Espero ter ajudado, qualquer dúvida pode me perguntar. []s Raphael Alcaires --- Em sáb, 13/6/09, Marcelo Gomes escreveu: De: Marcelo Gomes Assunto: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita geometricamente) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 13 de Junho de 2009, 23:47 Olá pessoal da lista, muito boa noite. Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente. Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem algébricas. Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Combinatoria e Prob
Olá pessoal isso que o Rogério fez foi demonstrar a fórmula de permutação caótica que se encontra no livro de Probabilidades do saudoso Morgado. Só que o Rogério resolveu por meio de equações diferenciais. Deêm uma olhada no livro. Achei interessante nunca imaginei que se resolveria por equações diferenciais. []s Raphael --- Em seg, 24/11/08, Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Combinatoria e Prob Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 24 de Novembro de 2008, 6:51 Ola' Fabricio e colegas da lista, segue um repeteco desse problema, com outra roupagem, e sua solucao: - Problema: Qual a probabilidade P(N) de ocorrer um sorteio valido numa reuniao de N "amigos ocultos" ? (sorteio valido e' aquele em que ninguem sorteia a si mesmo). - Solucao: Primeiramente, em um sorteio qualquer, existem sub-grupos do tipo "A sorteia B, que sorteia C, que sorteia...que sorteia A", formando um "loop". Chamemos de "cadeia" essa sequencia de pessoas. Entao, seja V(n) o numero de sorteios validos com "n" pessoas. Quando acrescentamos a enesima-primeira pessoa a um grupo com "n" pessoas, um sorteio valido qualquer correspondera' as seguintes situacoes: a) essa pessoa forma uma cadeia com mais de 2 elementos. b) essa pessoa forma uma cadeia com apenas 2 elementos (ela e uma 2a. pessoa fazem uma troca mutua de presentes). No caso "a", podemos considerar que essa pessoa e' inserida em alguma das cadeias que haveria num sorteio valido com apenas "n" pessoas. No caso "b" , cada sorteio pode ser obtido a partir da escolha do 2o. elemento, e entao formando-se todos os sorteios validos possíveis com (n-1) elementos. Dessa forma, o numero de sorteios validos do tipo "a" vale "n*V(n)" . Repare que essa nova pessoa pode ser inserida logo apos uma pessoa qualquer dentre as "n" existentes. E o numero de sorteios validos do tipo"b" vale "n*V(n-1)" . Repare que essa nova pessoa pode fazer par com qualquer uma dentre as "n" existentes, enquanto as outras (n-1) se organizam como um sorteio valido de (n-1) elementos. Assim, V(n+1) = n*V(n) + n*V(n-1) Fazendo V(n) = n! * W(n) , obtemos a equacao de diferencas, linear e homogena, do 1o grau: [W(n+1) - W(n)] + 1/(n+1) * [W(n) - W(n-1)] = 0 Portanto, a solucao geral e' W(n+1) - W(n) = C * (-1)^(n+1)/(n+1)! Como V(1)=0 e V(2)=1 , entao C=1 , pois W(1)=0 e W(2)=1/2 , que nos leva a W(n+1) = W(n) + (-1)^(n+1)/(n+1)! Como o numero de sorteios possíveis e' n! , a probabilidade de sorteios validos com "n" pessoas e' P(n)= V(n)/n! . Logo, P(n) = W(n) , ou seja, P(n) = P(n-1) + (-1)^n/n! , onde P(1)=0 ou seja, P(n) = 0 + 1/2! -1/3! +...+ (-1)^n/n! Alem disso, e' facil verificar que quando "n" cresce, P(n) converge para P = 0 +1/2! - 1/3! + 1/4! ... = 1/e []'s, Rogerio Ponce 2008/11/23 [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>: > Mexendo nos emails antigos, vi vários comentários sobre o problema 1, mas > não sobre o problema 2. > > "2) Uma recepcionista recebeu n chapéus, mas estes ficaram totalmente > misturados. Decidiu, então, devolvê-los a esmo. Calcular a probabilidade de > que nenhum homem receba seu chapéu." > > É fácil notar que a probabilidade do primeiro homem não receber seu chapéu é > dada por (n-1)/n. > O mesmo raciocínio não vale para o segundo homem, pois se o chapéu dele já > foi retirado, ele tem chance de 1/1 de retirar o chapéu errado. > > Dessa forma, é mais fácil resolver o problema de forma complementar, isto é, > calcular qual a probabilidade de que tdos eles retirem o próprio chapéu. > > Aí teremos que P(chapeu_certo) = (1/n).(1/n-1).(1/n-2)...(1/2).(1/1) > P = 1/n! > > Portanto, a probabilidade de nenhum homem retire seu chapéu é 1 - 1/n! > > Será que é isso? > > > Fabrício. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l]
Olá, resolvi da seguinte maneira: 1) 100 : preço de custo x : preço de venda lucro sobre o preço de custo: x - 100 Mas o lucro (valor absoluto é o mesmo tanto sobre o custo quanto a venda) então 50% de x é igual ao lucro Ou seja, x-100 = 0,5x donde x = 200 Logo o lucro é de 100 reais, isto é 100%. 2) Entendi i como sendo i = sqrt -1 (número imaginário. Vamos lá Como i é raiz então -i também é. E como o coeficiente de X^3 é 1 então P(x) = (x-i)(x+i)(x-r), onde r é a terceira raiz que temos de descobrir para termos P(x). Usando a segunda informação, temos: (x-i)(x+i)(x-r) = (-x-i)(-x+i)(-x-r) Resolvendo os dois parênteses nos dois membros, temos (x-r) = (-x-r) Isso significa que 0 é a outra raiz Portanto, P(x) = x(x-i)(x+i) e P(2) = 10. Não está nas alternativas. Não sei se errei alguma conta ou se está errada as alternativas. Espero ter ajudado! []s Raphael --- Em sex, 31/10/08, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 17:44 > > > Alguem pode me ajudar? > 1) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Então seu lucro sobre o preço de custo é de: a) 10% b) 25% c) 33,33...% d) 100% e) 120% 2) Um polinomio P(x)=x^3+ax^2+bx+c satisfaz as seguintes condições: P(i)=0 P(x) + P(-x) = 0 qualquer que seja x real . Qual o valor de P(2)? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 -- Mensagem verificada contra virus. Provedor Claretianas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] OBM 2007
Sou Raphael Alcaires, professor do CEFET Química, alguém pode me ajudar na questão 1 da OBM 2007? A questão é a seguinte: Seja f(x) = X^2 + 2007x +1. Prove que, para todo n inteiro e positivo, a equação f(f(...(f(x))=0--- f(x) n vezes - tem pelo menos uma solução real. Abraços Raphael Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
