[obm-l] obm
olá, Alguém pode me dar alguma dica de como provar que: sen (a) + sen (b) = 2 sen[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] sen (a) - sen (b) = 2 cos[(a + b)/2] . sen[(a - b)/2] cos (a) + cos (b) = 2 cos[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] cos (a) - cos (b) = - 2 cos[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] Agradeço qualquer dica. Valdoir Wathier
Re: [obm-l] obm
Ok. Obrigado a todos, já consegui fazer! On Sun, Sep 21, 2008 at 12:36 PM, Sávio Ribas [EMAIL PROTECTED] wrote: Temos: sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x) sen(x - y) = sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x) Somando: sen(x + y) + sen(x - y) = 2.sen(x).cos(y) (*) Fazendo x + y = a e x - y = b, temos x = (a + b)/2 e y = (a - b)/2. Substituindo em (*), o resultado segue: sen(a) + sen(b) = 2.sen[(a + b)/2].cos[(a - b)/2] O resto é parecido, só brincar com o seno e cosseno de soma e diferença de dois arcos. Abraços, Sávio Ribas.
[obm-l] Teoria da Medida
Alguém sabe me indicar algum material (preferencialmente on-line) sobre Teoria da Medida? Abraço a todos, Valdoir Wathier
Re: [obm-l] PROFESSOR ENTUSIASTA
On 10/15/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém resolveu esta??? *PESSOAL ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA:* * * *Um professor entusiasta dos problemas de aplicação do raciocínio, disse a um aluno que o produto das idades de sua mulher e das suas duas filhas era 2450, enquanto que sua soma era igual a duas vezes a idade do aluno. Em seguida perguntou quais as idades delas. Depois de refletir por um momento, o aluno disse que não era possível determiná-las. O professor revelou, então, ser mais velho que qualquer uma delas. Como sabia a idade do professor, o aluno pôde deduzir imediatamente as outras.* *Em relação à situação proposta julgue os itens*. Decompondo 2450 temos: 1 2 5 5 7 7 As idades serão, então, produtos destes fatores. Temos, como idades possíveis: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 49, 50, 70, 98, ... Não poderei terminar de responder a questão agora, mas a ordem das perguntas que seguem já lhe encaminham para a resposta. Tente, dentro dos valores possível, escolher as idades, verifique as somas e vá respondendo cada um dos itens. Provavelmente chegará a mais de um valor com a mesma soma, então, metade desta soma é a idade do aluno (por isso ele não soube responder). E se ele soube responder após saber que o professor é mais velho que a sua esposa, está sendo dito que isto mantém apenas uma alternativa, ou seja, aquela em que a esposa é mais jovem. Tente aí, se conseguir ok, senão, envie as dúvidas. *(0) Considerando-se as idades das filhas e da esposa do professor citadas no problema, existem menos do que 10 valores possíveis para tais idades.* *(1) Todos os resultados possíveis para as idades citadas no item anterior apresentam somas distintas.* ** *(2) O aluno tem 32 anos de idade, por isso não lhe foi possível saber as idades das pessoas citadas.* ** *(3) O professor pode ter 50 ou 51 anos*. * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO* * *
Re: [obm-l] Questão de concurso
se ele trabalha 10 dias em uma tarefa que completaria em 15, então ele faz 10/15 = 2/3 da tarefa. O outro faz 1/3 da tarefa, em 10 dias. Então ele precisaria de 30 dias para concluí-la sozinho. On 10/13/07, Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, amigos. Me ajudem, por favor. Dois trabalhadores realizam juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, em quantos dias o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa? Obrigado pela atenção Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Re:
se ele trabalha 10 dias em uma tarefa que completaria em 15, então ele faz 10/15 = 2/3 da tarefa. O outro faz 1/3 da tarefa, em 10 dias. Então ele precisaria de 30 dias para concluí-la sozinho. On 10/13/07, Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, amigos. Me ajudem, por favor. Dois trabalhadores realizam juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, em quantos dias o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa? Obrigado pela atenção. Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] BANDEIRAS
com 4 bandeiras, P4 = 4! = 24 com 3 bandeiras, A4,3 = 4!/1! = 24 com 2 bandeiras, A4,2 = 4!/2! = 12 com 1 bandeira, A4,1 = 4!/3! = 4 Total: 24 + 24 + 12 + 4 = 64 ... item b. Imaginei que elas estão numa posição fixa (por exemplo, não podem trocar de mastro). O lugar é substituído pelo tempo no raciocínio. usei arranjo por diferenciar a ordem: vermelha depois verde seria diferente de verde depois vermelho cheguei da cerveja agora, ... confere com seu gabarito? On 10/5/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: *Alguém pode, por favor, resolver esta:* * * *(UFPB-77) Quantos sinais diferentes podem ser feitos içando-se quatro bandeiras de cores distintas, uma após a outra? Admite-se que os sinais podem ser de 1, 2, 3 ou 4 bandeiras.* * * *a) 46. b) 64. c) 54. d) 45. e) 60.* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO* * *
Re: [obm-l] Probabilidade dificil
Total de possibilidades: 10! Possibilidades onde Verônica e Marcus estão juntos (sem nenhuma pessoa entre eles): 9!2! (considere os dois amarrados e então seriam 9 elementos na permutação, mas temos que considerar também a permutação entre eles: marcus-verônica ou verônica marcus). Possibilidades onde existe ao menos uma pessoa entre verônica e marcus. Isso corresponde ao total de possibilidades menos aquelas em que eles estão juntos: 10! - (9!2!) Possibilidades com exatamente uma pessoa entre marcus e verônica. 1°) Para escolher a pessoa que fica entre eles temos 8 possibilidades. 2°) Amarramos os três. Temos 8 para permutar: 8! 3°) Permutamos os verônica e marcus. (Verônica - outra pessoa - marcus X marcus - outra pessoa - verônica): 8*8!2! OBS: nesta fiquei com alguma dúvida, inicialmente me pareceu que seria o mesmo que eles estando juntos, mas parece que não... As probabilidades seriam, então: 1°) (9!2!)/10! = 2/10 = 1/5. 2°) [10! - (9!2!)] / 10! = 4/5. 3°) (8*8!2!)/10! = 16/90 = 8/45 Espero que ajude em algo, Valdoir Wathier On 10/3/07, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém sabe como faz essa loucura? Um grupo e constituído de dez pessoas, entre elas verônica e Marcus. As pessoas do grupo são dispostas, ao acaso, em uma ordenação linear e os seguintes eventos são considerados: Verônica e Marcus estão lado a lado, na ordenação; existe ao menos uma pessoa entre Verônica e Marcus, na ordenação; existe exatamente uma pessoa entre Verônica e Marcus, na ordenação. Calcule as probabilidades dos eventos considerados acima ocorrem. Marcus Aurélio
Re: [obm-l] DETERMINANTE
o determinante é dado por: x.x.1 + 1.b.a + a.1.1 - (1.1.x + 1.a.x + 1.a.b) = 0. x² + ba + a - x - ax - ab = 0 x² -(a +1) x + a = 0. [(a+1) +/- sqrt((a+1)² - 4. a]/2 [a + 1 +/- sqrt(a² + 2a + 1 - 4a)]/2 [a + 1 +/- sqrt(a² - 2a + 1)]/2 como a² - 2a + 1 = (a - 1)² : [a + 1 +/- (a - 1)]/2 primeira raiz: [a +1 + a - 1] /2 = 2a/2 = a. segunda raiz: [a + 1 - a + 1]/2 = 2 / 2 = 1. Então, é nulo para X=A, mesmo que também seja para X = 1. On 9/25/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: *Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta* * * *(UFPB-77) O determinante | X A 1 |será nulo para:* *| B X 1 |* *| 1 A 1 |* * * *a) A = B.b) X = B.c) X = A. d) X = -1. e) Nenhuma das respostas.* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO*
Re: [obm-l] Re:[obm-l] DÍGITOS
1º 2°3° 4° 8 - 7 - 6 - 4 - 3 - 2 - 4- 3 - 2 - 3 - 2 - 6- 4 - 3 - 2 - 3 - 2 - 4- 3 - 2 7 - 6- 4 - 3 - 2 - 3 2 - 4- 3- 2 6 - 4 -3 -2 15, acredito. E creio que seja mais tranquilo fazer com certo empirismo neste caso, pois dependendo da escolha em um algarismo mudam as possibilidades para o próximo. Se fosse para calcular, acho que uma saída seria: Para o seis temos uma possibilidade. Iniciando com 7, podemos pegar uma combinação de 4, 3 a 3 (três dos quatro algarismos menores que 7 e colocá-los em ordem decrescente, ou seja, ordem importa!) portanto, 4!/3! = 4. Logo, 4 combinações para o 7. Para os inciados com 8, podemos escolher três dos 5 números menores que 8 e combiná-los. 5!/3!2! = 10. Logo, uma combinação iniciando com 6, quatro com 7 e 10 com 8, portanto, 15 possibilidades. se tiver coincidido dois erros, desisto! : ) On 9/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: ALGUÉM CONSEGUIU RESOLVER ESTA? *Olá pessoal, alguém pode, por favor, resolver esta:* * **(ESAF) Com os dígitos 2, 3, 4, 6, 7 e 8, quantos números de quatro algarismos, que estejam em ordem decrescente, podemos formar?* *a) 3. b) 120.c) 15. d) 24. e) 360.* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO* * *
Re: [obm-l] Re:[obm-l] DÍGITOS
Akron, depois de enviar essa resposta toda enrolada, fiquei pensando em pq não fazer simplesmente uma combinação de 6 elementos, 4 a 4, ou seja: 6!/(4!2!) = 15. Afinal, o que queremos é formar subconjuntos de 4 elementos, como são todos distintos, basta notarmos que só podemos pegar os mesmos elementos uma vez, afinal, só aceitam uma ordem: a decrescente. E é só isso, acho que bem mais fácil. On 9/24/07, Valdoir Wathier [EMAIL PROTECTED] wrote: 1º 2°3° 4° 8 - 7 - 6 - 4 - 3 - 2 - 4- 3 - 2 - 3 - 2 - 6- 4 - 3 - 2 - 3 - 2 - 4- 3 - 2 7 - 6- 4 - 3 - 2 - 3 2 - 4- 3- 2 6 - 4 -3 -2 15, acredito. E creio que seja mais tranquilo fazer com certo empirismo neste caso, pois dependendo da escolha em um algarismo mudam as possibilidades para o próximo. Se fosse para calcular, acho que uma saída seria: Para o seis temos uma possibilidade. Iniciando com 7, podemos pegar uma combinação de 4, 3 a 3 (três dos quatro algarismos menores que 7 e colocá-los em ordem decrescente, ou seja, ordem importa!) portanto, 4!/3! = 4. Logo, 4 combinações para o 7. Para os inciados com 8, podemos escolher três dos 5 números menores que 8 e combiná-los. 5!/3!2! = 10. Logo, uma combinação iniciando com 6, quatro com 7 e 10 com 8, portanto, 15 possibilidades. se tiver coincidido dois erros, desisto! : ) On 9/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: ALGUÉM CONSEGUIU RESOLVER ESTA? *Olá pessoal, alguém pode, por favor, resolver esta:* * **(ESAF) Com os dígitos 2, 3, 4, 6, 7 e 8, quantos números de quatro algarismos, que estejam em ordem decrescente, podemos formar? * *a) 3. b) 120.c) 15. d) 24. e) 360.* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO* * *
Re: [obm-l] Medida e Forma em Geometria (Elon Lages Lima) - ??!!
Olá, Carlos.. De fato, imaginei que houvesse algo fora do que eu conhecia, não cogitei a sério o preconceito.. E, de fato, na pressa falei uma besteira quanto à semelhança... maldita pressa que vive levando-me a equívocos esdrúxulos. Obrigado pelos esclarecimentos. On 9/19/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Delon (e Aline), Eu não devia responder, mas em respeito a você e à Aline... Talvez você não tenha acompanhado em passado recente os comentários divertidos da Bruna, única menina participante da lista até então (a menos de pseudônimos), nos chamando de meninos (e alguns de nós com idade para ser tio ou avô dela - o meu caso, por exemplo).Acabou criando uma bonita cumplicidade com todos nós: moços ou não.. Assim, você interpretou de forma totalmente equivocada a minha brincadeira. Mas me perdoe se deixei margem para esta interpretação boba. Quanto a sua explicação, infelizmente parece conter outro equívoco: apenas triângulos com mesmos ângulos internos são semelhantes. Isto não vale para outros polígonos, como parece ser o argumento que você usou para os retângulos da figura... Atenciosamente, Carlos Nehab At 13:43 19/9/2007, you wrote: Comentário estranho este... eu iria, mas desisti ao ver... sei lá,.. Imagino que não seja o caso, mas deixa margem para um interpretação preconceituosa. Aline, se você fizer a representação das semi-retas e seguir as demais orientações, verá que tomando um determinado ponto P formará um quadrilátero (OSPQ). Se este ponto P for alterado para um P', outro quadrilátero será formado (OS'P'Q'), porém será semelhante ao primeiro, pois todos os ângulos serão mantidos, afinal, PS é paralela a OX, então sempre formará com OY (ou OS) um mesmo ângulo. Da mesma forma, a perpendicular sempre gerará um mesmo ângulo, e o ângulo SOQ (ou YOX) é definido (o quarto ângulo será automaticamente congruente). Então, tente fazer o quadrilátero OSPQ e outro OS'P'Q'. Verá a semelhança, e pelas propriedades já conhecidas de semelhança terá que PQ/PS = P'Q'/P'S', portanto, indiferente do ponto P. Espero que ajude, ... Delon On 9/19/07, *Carlos Eddy Esaguy Nehab* [EMAIL PROTECTED] wrote: Caramba ! Eu ia responder quando percebi que temos mais uma menina para fazer companhia à Bruna (que anda sumida, né)... Portanto, deixarei este privilégio para os milhões de meninos da lista..., apenas deixando uma pergunta à Aline: você sabe o que é homotetia? Nehab At 11:11 19/9/2007, you wrote: Olá Colegas... Estou com dúvida e agradeceria muito se alguém pudesse me ajudar. Trace no plano as semi-retas OX, OY, OZ com a mesma origem O, de modo que OZ esteja no interior do ângulo XOY. Por cada ponto P em OZ, sejam Q o pé da perpendicular baixada de P sobre OX e S a interseção com OY da paralela a OX passando por P. Prove que a razão PQ/PS não depende do ponto P tomando OZ. Obrigada pela atenção, abraços a todos... -- MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora.http://g.msn.com/8HMBBR/2737??PS=47575= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Medida e Forma em Geometria (Elon Lages Lima)
Comentário estranho este... eu iria, mas desisti ao ver... sei lá,.. Imagino que não seja o caso, mas deixa margem para um interpretação preconceituosa. Aline, se você fizer a representação das semi-retas e seguir as demais orientações, verá que tomando um determinado ponto P formará um quadrilátero (OSPQ). Se este ponto P for alterado para um P', outro quadrilátero será formado (OS'P'Q'), porém será semelhante ao primeiro, pois todos os ângulos serão mantidos, afinal, PS é paralela a OX, então sempre formará com OY (ou OS) um mesmo ângulo. Da mesma forma, a perpendicular sempre gerará um mesmo ângulo, e o ângulo SOQ (ou YOX) é definido (o quarto ângulo será automaticamente congruente). Então, tente fazer o quadrilátero OSPQ e outro OS'P'Q'. Verá a semelhança, e pelas propriedades já conhecidas de semelhança terá que PQ/PS = P'Q'/P'S', portanto, indiferente do ponto P. Espero que ajude, ... Delon On 9/19/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Caramba ! Eu ia responder quando percebi que temos mais uma menina para fazer companhia à Bruna (que anda sumida, né)... Portanto, deixarei este privilégio para os milhões de meninos da lista..., apenas deixando uma pergunta à Aline: você sabe o que é homotetia? Nehab At 11:11 19/9/2007, you wrote: Olá Colegas... Estou com dúvida e agradeceria muito se alguém pudesse me ajudar. Trace no plano as semi-retas OX, OY, OZ com a mesma origem O, de modo que OZ esteja no interior do ângulo XOY. Por cada ponto P em OZ, sejam Q o pé da perpendicular baixada de P sobre OX e S a interseção com OY da paralela a OX passando por P. Prove que a razão PQ/PS não depende do ponto P tomando OZ. Obrigada pela atenção, abraços a todos... -- MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora.http://g.msn.com/8HMBBR/2737??PS=47575= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] ANAÍS
As possíveis idades são: A 1, 2, 10 B 1, 3, 9 C 1, 4, 8 D 1, 5, 7 E 2, 3, 8 F 2, 4, 7 G 2, 5, 6 H 3, 4, 6 Beto ouve a idade de Analise, a mais nova. Se ela tivesse 3 anos, ele descobriria a idade das outras. Não descobriu, elimina-se o item H. Caio ouve a idade de Anália. Se ela tivesse 10 ou 9 anos, ele saberia a idade das outras. Elimina-se os itens A e B. Ainda, se ela tivesse 6 anos, já sabendo que Anelise não tem 3, ele concluiria o item G. Como não concluiu, eliminamos esta possibilidade (G). Quando Dário recebe a informação da idade de Anaís, percebemos que ele não consegue concluir a idade das outras duas. Vejamos que, se Anaís tivesse 3 anos, ele concluiria o item E. Já se Anaís tivesse 5 anos, ele concluiria o item D. Como Dário, mesmo sendo inteligente e dispondo das informações não concluiu as idades, é por que havia mais de uma possibilidade: dos itens C e F, nas quais Anaís tem 4 anos. Portanto, esta é a idade da menina. On 9/19/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: *Olá pessoal alguém pode, por favor, resolver esta:* *(ESAF) Anelise, Anaís e Anália estão sentadas lado a lado, nesta ordem. Sabe-se que Anália é mais velha do que Anaís, que é mais velha do que Anelise. São dadas a Beto, Dario e Caio as seguintes informações: * * * *- as idades das meninas são números inteiros positivos;* *- a soma das idades é igual a 13.* * * *Beto ao saber a idade de Anelise diz: Não tenho informações suficientes para determinar as idades das outras duas meninas. Em seguida, Caio, ao saber a idade de Anália diz: Não tenho informações suficientes para determinar as idades das outras duas meninas. Por fim, Dario, ao saber a idade de Anaís diz Não tenho informações suficientes para determinar as idades das outras duas meninas. Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é a idade de Anaís? * * * *a)**2. b) 3. c) 4. d) 5. e) Não há informações suficientes para determinar a idade de Anaís.* ** * GABARITO LETRA C* *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO*
[obm-l] dia de dez horas...(off topic?)
Olá, Tempos atrás li alguma coisa a respeito da formulação do sistema metro-decimal. Constava que, na proposta inicial, a base dez seria utilizada também para a contagem de tempo, ou seja: dia de dez horas, com 100 minutos cada, por sua vez, com 100 segundos cada. Estou pesquisando a respeito da implantação do sistema decimal, mas não encontrei nenhuma bibliografia a respeito. Alguém sabe me dizer algo sobre ou, preferencialmente, indicar alguma bibliografia. Atenciosamente, Valdoir Wathier.
Re: [obm-l] ajuda urgente
com três: 2^3 com quatro: 2^4 com cinco: 2^5 então: 8 + 16 + 32 = 56. On 8/17/07, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote: As letras do Código Morse são seqüências finitas de ocorrências de símbolos, sendo permitidas repetições. Os dois símbolos permitidos são o traço − e o ponto ·. Quantas letras podem ser formadas: Com no mínimo três e no Maximo cinco ocorrências de símbolos? Marcus Aurélio
[obm-l] Enunciado...
Senhores, No último concurso para PEB II, matemática, de São Paulo, apareceu a seguinte questão na prova dissertativa. Discordo da precisão da formulação e gostaria muito da opinião dos senhores quanto ao item B da questão, afinal, afirma-se que duas bombas tem consumo constante de 11 e 15Kwh.. Mas, como sabemos, um Watt corresponde a um Joule por segundo. Quando falamos em Watt.hora, estamos anulando a unidade de tempo e, por consequencia, o que temos não é uma unidade de consumo, mas sim uma quantidade de energia. Se alguém puder opinar quanto a precisão do enunciado, eu ficaria muito grato. 01) Deseja-se comparar o consumo de energia de dois tipos de bombas de água, A e B, que serão utilizadas para retirar água de um reservatório cuja capacidade máxima é de 3 000 litros. Sabe-se que a partir do instante em que o reservatório atinge a capacidade máxima, a bomba A é acionada retirando água a uma vazão de 50 litros/min, até que o reservatório fique com 2/3 da capacidade. A partir daí, a vazão diminui para 20 litros/min. A bomba B também é acionada quando o reservatório atinge a capacidade máxima, retirando água a uma vazão constante de 35 litros/min. Ambas as bombas se desligam automaticamente quando o volume de água do reservatório atinge 1 000 litros. a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos do volume de água no reservatório em função do tempo, sob a ação de cada bomba. b) Se os consumos de energia das bombas A e B são constantes e respectivamente iguais a 11 kWh e 15 kWh, qual é a mais vantajosa? Justifique sua resposta.
[obm-l] Re: Enunciado...
Senhores, No último concurso para PEB II, matemática, de São Paulo, apareceu a seguinte questão na prova dissertativa. Discordo da precisão da formulação e gostaria muito da opinião dos senhores quanto ao item B da questão, afinal, afirma-se que duas bombas tem consumo constante de 11 e 15Kwh.. Mas, como sabemos, um Watt corresponde a um Joule por segundo. Quando falamos em Watt.hora, estamos anulando a unidade de tempo e, por consequencia, o que temos não é uma unidade de consumo, mas sim uma quantidade de energia. Se alguém puder opinar quanto a precisão do enunciado, eu ficaria muito grato. 01) Deseja-se comparar o consumo de energia de dois tipos de bombas de água, A e B, que serão utilizadas para retirar água de um reservatório cuja capacidade máxima é de 3 000 litros. Sabe-se que a partir do instante em que o reservatório atinge a capacidade máxima, a bomba A é acionada retirando água a uma vazão de 50 litros/min, até que o reservatório fique com 2/3 da capacidade. A partir daí, a vazão diminui para 20 litros/min. A bomba B também é acionada quando o reservatório atinge a capacidade máxima, retirando água a uma vazão constante de 35 litros/min. Ambas as bombas se desligam automaticamente quando o volume de água do reservatório atinge 1 000 litros. a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos do volume de água no reservatório em função do tempo, sob a ação de cada bomba. b) Se os consumos de energia das bombas A e B são constantes e respectivamente iguais a 11 kWh e 15 kWh, qual é a mais vantajosa? Justifique sua resposta.
[obm-l] Enunciado...
Senhores, No último concurso para PEB II, matemática, de São Paulo, apareceu a seguinte questão na prova dissertativa. Discordo da precisão da formulação e gostaria muito da opinião dos senhores quanto ao item B da questão, afinal, afirma-se que duas bombas tem consumo constante de 11 e 15Kwh.. Mas, como sabemos, um Watt corresponde a um Joule por segundo. Quando falamos em Watt.hora, estamos anulando a unidade de tempo e, por consequencia, o que temos não é uma unidade de consumo, mas sim uma quantidade de energia. Se alguém puder opinar quanto a precisão do enunciado, eu ficaria muito grato. 01) Deseja-se comparar o consumo de energia de dois tipos de bombas de água, A e B, que serão utilizadas para retirar água de um reservatório cuja capacidade máxima é de 3 000 litros. Sabe-se que a partir do instante em que o reservatório atinge a capacidade máxima, a bomba A é acionada retirando água a uma vazão de 50 litros/min, até que o reservatório fique com 2/3 da capacidade. A partir daí, a vazão diminui para 20 litros/min. A bomba B também é acionada quando o reservatório atinge a capacidade máxima, retirando água a uma vazão constante de 35 litros/min. Ambas as bombas se desligam automaticamente quando o volume de água do reservatório atinge 1 000 litros. a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos do volume de água no reservatório em função do tempo, sob a ação de cada bomba. b) Se os consumos de energia das bombas A e B são constantes e respectivamente iguais a 11 kWh e 15 kWh, qual é a mais vantajosa? Justifique sua resposta.
[obm-l] Mestrado - off-topic.
Senhores, Gostaria de saber se alguns de vocês têm e poderiam me enviar um projeto de pesquisa para mestrado. Estou tentando elaborar o meu e penso que seria interessante conhecer alguns outros. Meu foco é em Educação Matemática, relacionada a História da Matemática , mas projetos de qualquer gênero serão bem vindos. Mui grato a todos, Valdoir Wathier.
Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade
Olá Anselmo e Valdoir, acho que vocês se esqueceram de que o aluno pode acertar porque sabe a resposta. Assim, a terceira questao fica: a) Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão? Resposta: p + (1-p)/m Rogério, esta é a resposta que tanto eu quanto o Anselmo colocamos, mesmo que talvez escrita de uma forma um tanto diferente: [p + (1-p)/m] b)Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de que ele tenha chutado a resposta? 25% / 50% Resposta: [(1-p)/m] / [p + (1-p)/m] = 1 - m*p/[1+(m-1)*p] Concordo com você, mas acho que falou considerar é que já sabíamos que ele tinha acertado. De minha parte, faltou atenção.. muita. Valeu pelas correções. []'s Rogerio Ponce *Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Bom, vamos direto ao ponto: 3) a) Sejam os eventos A= 'o aluno sabe a resposta da questão'. B= 'o aluno responde corretamente'. o evento de interesse é (B e A) ou (B e Ac); onde Ac quer dizer A complementar. Como são mutuamente exclusivos P[(B e A) ou (B e Ac)]=P(B e A)+P(B e Ac) = P(B|A)*P(A)+P(B|Ac)*P(Ac) = 1*p+1/m*(1-p) de fato há um erro de digitação e o sinal é mais. muito grato pela a atenção desmedida! -- Date: Wed, 23 May 2007 17:14:08 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei em alguma coisa assim: 1) Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser escolhida. Seja X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela primeira vez. P(X=1)=1/n P(X=2)=1/n*1/(n-1) P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2) . . . P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k) Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na primeira, fiz besteira. 2) Encontrei 0,037 e 0,2702 Na segunda, concordamos. 3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está errada na minha resposta anterior)... A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não entendi a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais? Um abraço. Valdoir Wathier. ALguém confirma esses valores?! -- Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões: 1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n). Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a 1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para qualquer chave. A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das anteriores abra a porta e que ela abra. Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta? A primeira chave não abre: (n-1)/n. A segunda chave não abre: (n-1)/n. A terceira chave abre: 1/n. A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre, ou seja: [(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n - 1)^(k-1) / n^k Acho que é algo nessa linha. 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C. Probabilidade de ser defeituosa: Para isso você pega o percentual de produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito que cada uma produs. ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está bem claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também). Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina A). Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina B). Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina C). A probabilidade da peça ser defeituosa é 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%. Sabendo que ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C? A maquina C responde por 1/3,7 das peças defeituosas, então, a probabilidade é de aproximadamente 27%. 3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha é p. Há m
Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade
On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões: 1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n). Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a 1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para qualquer chave. A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das anteriores abra a porta e que ela abra. Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta? A primeira chave não abre: (n-1)/n. A segunda chave não abre: (n-1)/n. A terceira chave abre: 1/n. A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre, ou seja: [(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n - 1)^(k-1) / n^k Acho que é algo nessa linha. 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C. Probabilidade de ser defeituosa: Para isso você pega o percentual de produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito que cada uma produs. ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está bem claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também). Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina A). Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina B). Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina C). A probabilidade da peça ser defeituosa é 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%. Sabendo que ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C? A maquina C responde por 1/3,7 das peças defeituosas, então, a probabilidade é de aproximadamente 27%. 3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha é p. Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe ao acaso uma das m respostas possíveis. a) Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão? 1/m b) Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de que ele tenha chutado A resposta? Há duas formas dele acertar. A primeira é sabendo a questão, o que corresponde a P, a segunda é, se não souber (não p), chutar e acertar. Ainda poderia chutar e errar, mas já sabemos que acertou, então, a probabilidade de que ele tenha chutado é a probabilidade de: ele NÃO saber (que corresponde a probabiliade dele chutar) E acertar. (1 - p)*(1/m) = (1-p)/m Desde já grato pela sua ajuda! -- Espero que ajude, Valdoir Wathier.
Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade
On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei em alguma coisa assim: 1) Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser escolhida. Seja X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela primeira vez. P(X=1)=1/n P(X=2)=1/n*1/(n-1) P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2) . . . P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k) Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na primeira, fiz besteira. 2) Encontrei 0,037 e 0,2702 Na segunda, concordamos. 3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está errada na minha resposta anterior)... A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não entendi a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais? Um abraço. Valdoir Wathier. ALguém confirma esses valores?! -- Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* [EMAIL PROTECTED] wrote: Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões: 1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n). Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a 1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para qualquer chave. A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das anteriores abra a porta e que ela abra. Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta? A primeira chave não abre: (n-1)/n. A segunda chave não abre: (n-1)/n. A terceira chave abre: 1/n. A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre, ou seja: [(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n - 1)^(k-1) / n^k Acho que é algo nessa linha. 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça selecionada é defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C. Probabilidade de ser defeituosa: Para isso você pega o percentual de produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito que cada uma produs. ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está bem claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também). Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina A). Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina B). Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram produzidas pela máquina C). A probabilidade da peça ser defeituosa é 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%. Sabendo que ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina C? A maquina C responde por 1/3,7 das peças defeituosas, então, a probabilidade é de aproximadamente 27%. 3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha é p. Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe ao acaso uma das m respostas possíveis. a) Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão? 1/m b) Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de que ele tenha chutado A resposta? Há duas formas dele acertar. A primeira é sabendo a questão, o que corresponde a P, a segunda é, se não souber (não p), chutar e acertar. Ainda poderia chutar e errar, mas já sabemos que acertou, então, a probabilidade de que ele tenha chutado é a probabilidade de: ele NÃO saber (que corresponde a probabiliade dele chutar) E acertar. (1 - p)*(1/m) = (1-p)/m Desde já grato pela sua ajuda! -- Espero que ajude, Valdoir Wathier. -- Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente!http://get.live.com/messenger/overview
Re: [obm-l] PREÇO DE UMA CAMISETA
se o preço inteiro é após aplicada a taxa, então o preço da camiseta é um real (R$ 0,95 antes da taxa). Não parece haver muito o que fazer,.. claro que há um arredondamento após a aplicação dos 4%, mas não creio que isso se proibido nas intenções de quem propôs a questão. té. On 5/21/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal da lista, alguém pode resolver esta, por favor: Desde já agradeço. Agripino deseja comprar uma camiseta com um cheque pré-datado. Ao entrar numa loja percebe que os preços, a vista, dos mais diversos tipos de camiseta, são dados em reais e centavos de real. Ao ser perguntado sobre a venda com cheque pré-datado, o vendedor informa que é cobrada uma taxa de 4% para dirimir as perdas. Sabendo-se que Agripino escolheu uma camiseta cujo preço, após ser cobrada a taxa, é um número inteiro, calcular, em reais, o preço mais baixo que poderá ser pago por esta camiseta com cheque pré-datado.
Re: [obm-l] Duas Questões interessantes ( Naturais )
On 5/20/07, Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: 01) O quociente da divisão de um número N de dois algarismos pela soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das unidades ? 10d + u / d + u = 7 10d + u = 7d + 7u 2d = 3.u + 3 = d = (3u+3)/2 10d - 7d = 7u - u 3d = 6u d = 2u (3u +3) / 2 = 2u 3u + 3 = 4u u = 3. d = 2.3 = 6 O número é 63. 02) Um leiteiro vende o litro de leite por Cr$ 65,00. A quantidade de água que o leiteiro deve carescentar a 385 litros de leite para que possa vender o litro da mistura por Cr$ 55,00. 385*65 = x * 55 = 385 * 65 /55 = x = x = 455. Ou seja, ele deverá vender 485 litros por $ 55 para ter o mesmo rendimento que 385 litros a $ 65. A quantidade de água é 455 - 385 = 70 litros. Delon
Re: [obm-l] ITA
A quantidade de números que pode ser formada é 5*4*3*2*1, ou seja, 5! = 120 Nestes 120, em 4 números a dezena de milhar será 5, em quatro será 3 e assim por diante... Então temos 1*4 + 3*4 + 5*4 +72*4 + 9*4 dezenas de milhar, ou seja: 4(1+3+5+7+9)*1 Por analogia temos 4(1+3+5+7+9) milhares. 4(1+3+5+7+9) centenas. 4(1+3+5+7+9) dezenas. 4(1+3+5+7+9) unidades. ou seja, 4*25*1 + 4*25*1000 + 4*25*100 + 4*25*10 + 4*25*1 100*1 + 100 * 1000 + 100*100 + 100*10 + 100*1 10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + + 10^2 100 Acho que é isso, Valdoir Wathier. On 5/9/07, Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Por favor alguém pode me ajudar? Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em qualquer ordem, sem repetição. Calcule a soma de todos esses números. Desde já agradeço. Anna. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA
Ops, eu esqueci dum fatorial ali no 4 e fui na minha própria onda... acertando e concordando com o Cláudio: A quantidade de números que pode ser formada é 5*4*3*2*1, ou seja, 5! = 120 Nestes 120, em 4! números a dezena de milhar será 5, em quatro será 3 e assim por diante... Então temos 1*4! + 3*4! + 5*4! +72*4! + 9*4! dezenas de milhar, ou seja: 4!(1+3+5+7+9)*1 Por analogia temos 4!(1+3+5+7+9) milhares. 4!(1+3+5+7+9) centenas. 4!(1+3+5+7+9) dezenas. 4!(1+3+5+7+9) unidades. ou seja, 4!*25*1 + 4!*25*1000 + 4!*25*100 + 4!*25*10 + 4!*25*1 600*1 + 600 * 1000 + 600*100 + 600*10 + 600*1 6(10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2) 600 Acho que é isso, Valdoir Wathier. On 5/9/07, Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Por favor alguém pode me ajudar? Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em qualquer ordem, sem repetição. Calcule a soma de todos esses números. Desde já agradeço. Anna. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda (Combinatória)
penso que assim existem resultados sendo contados em duplicidade. Por exemplo:
1231
xxx- neste caso imagine os 3 primeiros estando fixos.
e
1231
-xxx- neste caso imagine o segundo o terceiro e o quarto sendo os fixos.
No seu cálculo estes dois resultados não estariam sendo contados como
diferentes?
Amanhã vou tentar resolver, aí mando minha conclusão...
Um abraço.
On 5/3/07, João Pedro de Gusmão Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigos, pensei assim:
Para colocar o 1 temos 8 possibilidades, para o 2 temos 7 e para o 3
temos 6. Logo para colocarmos os números {1,2,3} em uma das oito posições
temos 8*7*6 ( que é o arranjo de 8 três a três).
Agora fixado os três números {1,2,3} em alguma posição, teremos 5 espaços
para preencher, ou seja, 3^5 modos para colocar os dígitos restantes.
Logo o total é 8*7*6*3^5.
Abraços.
Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pense assim:
Como o número é de 8 algarismos e deve possuir pelo menos os dígitos 1,2,3
em qualquer formação, fixo os números 1,2,3 e agora devo preencher os
5 espaços restantes. Veja abaixo: Imagina os algarismos fixos 1,2,3 dentro
de um só espaço, então
/ -- representa onde posso colocar os algarimos 1,2,3
_ -- representa onde devo preencher
/ _ / _ / _ / _ / _
logo:
3^5 * 3! * 6 ,pois
3^5= os cincos espaços que devo preencher com 3 algarismos.
3! = os algarismos fixos(1,2,3), pois devo permutá-los
6= onde posso colocar os algarismos fixos.
Abraços.
cleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Valeu Olavo !
Amigos gostaria da ajuda de vocês neste problema de combinatória.
A quantidade de números inteiros positivos de 8 algarismos, formados somente
pelos algarismos 1,2,3, nos quais números cada um destes algarismos aparece
pelo menos uma vez é ?
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