[obm-l] Re: [obm-l] CÍRCULO
Enquanto o homem estiver num circulo de raio 1/4 do circulo maior, ele consegue ter uma velocidade angular (em relacao ao centro dos circulos) maior que a do cachorro. Portanto, consegue se colocar numa posicao a 180 graus do cachorro. Neste momento, ele tem apenas 3R/4 para chegar ate a cerca, enquanto o cachorro tem PI*R para percorrer. Logo o homem consegue fugir do cachorro. Em 03/05/2011 02:22, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu:2011/5/3 arkon : Qual o bizu? Um homem acha-se no centro de um cÃrculo. A periferia deste cÃrculo é delimitada por uma cerca, que separa o homem de um cachorro. Admitindo que o cachorro só pode correr ao longo da cerca, ⢠Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo cão se as velocidades máximas possÃveis de serem desenvolvidas pelo cachorro e pelo homem estiverem na relação 4 : 1.Eu acho que aqui você quis dizer o contrário: enfim, eu não vejo como,com o cachorro sendo 4 vezes mais rápido do que o homem, o sujeitopossa conseguir percorrer uma distância = R, sendo que o cachorro vaicorrer no máximo pi*R para chegar no ponto em que ele vai sair. Enfim,isso é um raciocÃnio rápido demais, porque afin al de contas eu não seicomo se comporta exatamente o cachorro, mas me parece estranho. ⢠Determine as relações entre as velocidades máximas do cachorro e do homem para as quais o homem pode escapar.Como eu disse antes, acho que faltam muitos detalhes no problema parase resolver (ou então você tem que considerar que é um jogo, mas dequalquer forma é preciso um pouco mais de informação sobre como ohomem e o cachorro vão se comportar). De qualquer forma, acho que umbom começo é ler o livro/artigo do Nicolau, Miriam Gugu sobre ohomem e o leão http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/fuga.pdfAbraços,-- Bernardo Freitas Paulo da Costa=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: Último Teorema de Fermat
Marco,
nem vou entrar no mérito do acerto ou não do seu desenvolvimento.
Mas, no máximo, o que você conseguiu provar é que, considerando-se a,b,c inteiros,
Se a^2=b^2+c^2  então   a^(n+1) = b^(n+1) + c^(n+1) não acontece.
Infelizmente, este resultado é ridiculamente trivial, e não tem nada a ver com Fermat.
Feliz Natal.
Em 22/12/2009 04:36, Marco Bivar marco.bi...@gmail.com escreveu:
Faltou-me esclarecer duas coisas:1ª: Em "Daà concluÃmos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos." leia-se "(...) cubos inteiros".2ª: Em "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a.b^n e y^{n+1}=a.c^n tais que (...)." leia-se "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n, e y^{n+1} tal que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca será equação diofantina."
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Re: [obm-l] ajuda de limites
Abençoado o paÃs em que até o pessoal de telemarketing já ouviu falar de L'Hopital (sem S)...- Em 29/11/2009 03:35 RitaGomes escreveu: Caros colegas,Gostaria de saber se alguem pode em esclarecer uma maneira simples de estar resolvendo limites pela regra L'hospital.Rita Gomes  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] site que posso estar baixando
E, supostamente, ninguém nesta comunidade é telepata. Portanto, é necessário que ao menos se escreva um português inteligÃvel. Quem não consegue se expressar de forma minimamente decente, provavelmente será ridicularizado enquanto aluno, e desmoralizado quando profissional. Certamente ainda há tempo de melhorar. - Em 18/05/2009 Denisson escreveu: Enfim, isso é uma comunidade em que se discute matemática. Ousupostamente... Em 18/05/2009 fernandobarcel escreveu: "Site que posso estar baixando" é dose pra cavalo. Por que não falar "site do qual posso baixar" ? Não dói, e nem é difÃcil. -- Ola Pessoal,Seria possÃvel, se alguem souber algum site que posso estar baixando livros gratis na net. E também indicação de alguns livros de cálculo, e geometria analitica para aquisição, se alguem aqui tiver para vender também pode ser. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] site que posso estar baixando
"Site que posso estar baixando" é dose pra cavalo. Por que não falar "site do qual posso baixar" ? Não dói, e nem é difÃcil. -- Ola Pessoal,Seria possÃvel, se alguem souber algum site que posso estar baixando livros gratis na net. E também indicação de alguns livros de cálculo, e geometria analitica para aquisição, se alguem aqui tiver para vender também pode ser. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re:[obm-l] Jamil Silva has invited you to join Friendster
Jamil,Jamil,Jamil, todo mundo percebeu, só você que não viu! Jamil,Jamil,Jamil, Pra esse tipo de convite, há outras listas no Brasil. Jamil,Jamil,Jamil, eu poderia dizer qualquer coisa, mas preferi uma resposta gentil. Jamil,Jamil,Jamil, minha esperança é a de todos: acho que sua ficha caiu. -x-x-x-x-x-x-x- PS:e fique alegre que eu tô bom de rima hoje -- Início da mensagem original --- Data: Wed, 5 Mar 2008 16:41:38 -0300 Assunto: [obm-l] Jamil Silva has invited you to join Friendster You're invited to join Jamil Silva's network of friends. By joining Friendster, you can reconnect with old friends, meet new friends, start a blog, build a custom profile, keep track of birthdays, and so much more! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruênci a de Triângulos
Em que série você estuda? Você ficou tentando resolver esse problema desde 9 de outubro do ano passado? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Tue, 29 Jan 2008 20:23:45 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos não consegui demostrar [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos Victor Tue, 09 Oct 2007 10:48:26 -0700 use o teorema (ou como alguns chamam lei) dos senos que sai. - Original Message - From: marcio aparecido To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, October 09, 2007 12:34 PM Subject: [obm-l] Congruência de Triângulos Como eu posso fazer para provar os casos ALA e LLL de congruência de triângulos ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re:[obm-l] Teorema de Tales
Primeiro você precisa saber trabalhar com frações. Em seguida , deve entender de razões, proporções e regra de três. Você domina esses assuntos? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Tue, 29 Jan 2008 20:20:12 -0200 Assunto: [obm-l] Teorema de Tales Olá pessoal. Queria saber se alguem poderia me ajudar com uma demonstração do teorema de Tales. Tenho o livro fundamentos de matemática elementarmas não conseguir entender a demonstração dele.achei ela muito complicada. agradeço a ajuda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Rodrigo, matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que Na lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova, certo? Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra prove está presente. Abraços -- Início da mensagem original --- De: Rodrigo Cientista Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
Não sei calcular, mas com certeza a probabilidade não é zero. E existem 1004 números ímpares de 1 a 2007. -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Tue, 6 Nov 2007 15:46:08 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Probabilidade Zero. (Quantos números ímpares tem de 1 até 2007?) Benedito - Original Message - From: ralonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, November 06, 2007 12:43 PM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade fccores wrote: Escreve-se em um quadro negro os primeiros 2007 números naturais: 1, 2, 3, ..., 2007. A frente de cada um se escreve o sinal + ou - de forma ordenada, da esquerda para direita. Para decidir cada sinal é jogada uma moeda: se sai cara escreve- se + (mais), se sai coroa escreve -se - (menos). Uma vez escritos os 2007 sinais efetua - se a soma da expressão resultante. Determinar a probabilidade de que o resultado seja 0. Esse parece interessante. É um problema de combinatória. A dica é notar em que situações a soma dá zero. Usando a idéia de Gauss: 012 3 4 ... 1003 2007 2006 20052004 2003 ...1004 --- 2007 2007 2007 20072007... 2007 Vemos abaixo uma situação em que a soma dá zero: - 0- 12 3 - 4 ... -1003 - 2007 -2006 20052004 - 2003 ... - 1004 --- -2007 -2007 2007 2007-2007... -2007 Quantas dessas situações existem? Basta agora dividir esse número pelo número total de possibilidades de escolhas de sinais mais e menos. [] Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] 1 Equaçao 2 incognitas
Oi Dirichlet, a questão não diz se x e y são naturais...e que letra você marcaria? :-) -- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet --- Bem, na questão não diz nada sobre x e y serem naturais... A minha resposta seria x=115/43,y=1 por exemplo... ... Dada a igualdade 1935x = 5175y , onde x0 e y0, o menor valor que a variável x pode assumir e o menor valor que a variável y pode assumir, de modo que seja verdadeira a igualdade, têm soma igual a: a) 155 b) 156 c) 157 d) 158 e) 159 -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IMO 2007
Oi João Carlos, visitei o site da IMO e no fórum aparecem ao todo 4 soluções para este problema. E são muito parecidas com a do Ponce. Teve um email nervoso que você sugeriu que ele podia continuar de onde você parou. Sinceramente, nem que o cara fosse mágico, porque esse caminho da gente tá errado no primeiro passo mesmo. A continuação seria jogar tudo no lixo, e voltar pro início, só que ele não falou. Eu também tentei resolver dividindo tudo ao meio, mas cheguei a conclusão que não dá certo. Olha o fórum da IMO onde tratam dessa questão em http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=893746#893746 Agora, que coisa esse teu surto! cara, isso é uísque do paraguay! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Fri, 27 Jul 2007 21:57:33 -0400 Assunto: Re: [obm-l] IMO 2007 Alguém, por gentileza, comente o surto abaixo. Ponce, preliminarmente, creio que está correto. Vou olhar com maior atenção. O surto: Vamos busca modelar (como se modela argila) esse conjunto competição. Não estou brincando não, falo sério. Cada conjunto clique desse é um monte de argila. Existe um conjunto maior com 2n elementos. Esses conjuntos de barro podem estar unidos. Essas uniões são as amizades que ligam os conjuntos clique sem transformá-los num conjunto clique maior. Também podem existir montes sem ligação com nenhum outro. Ora, sempre é possível dividir todo o conjunto competição, de forma que o maior conjunto clique com 2n participantes seja divido ao meio e os demais também ao meio (se par) ou em dois números inteiros e consecutivos (se ímpares) e, sem tanta preocupação com as amizades inter-cliques, pois elas não aumentam o tamanho de cada conjunto. Assim, sempre será possível se ter aí o que se deseja provar. Falta precisão, claro, mais essa pode ser simples a partir da idéia acima, creio. Fraternalmente, João. Ola' Shine, Joao e colegas da lista, acho que eu poderia melhorar a explicacao, mas vamos la' assim mesmo... Sempre podemos dividir os competidores da seguinte forma: Coloque o maior clique na sala A e todos os outros na sala B. Se na sala B tambem houver um clique com o tamanho da sala A, a divisao esta' completa. Se nao, execute a etapa X. Etapa X : Passe um competidor da sala A para a sala B. Dessa forma, o clique em A diminui de 1 unidade, alguns cliques em B crescem de 1 unidade, e outros cliques em B nao se alteram. Entao: - Se o(s) maior(es) clique(s) em B ainda nao igualou o clique em A, repita a etapa X. - Se o(s) maior(es) clique(s) em B igualou o clique em A, a divisao esta' completa. - E se o(s) maior(es) clique(s) em B ultrapassou o clique em A ? Bem, em cada um desses cliques (o clique formado pelos migrados de A nao esta' entre estes cliques, pois o clique original em A era par), existe algum competidor que nao estava originalmente em A . Passe esse competidor para A (faca isso em todos os cliques de B que ultrapassaram o valor em A). Agora a divisao esta' completa. OBS: Poderia acontecer de todos os jogadores transferidos para A formarem um clique independente, superior ao clique em A ? Nao, caso contrario eles ja' estariam formando um clique na sala B igual ao clique em A, antes da ultima passagem de alguem de A para B, e o processo ja' teria terminado. Note que o clique original em A e' par. Assim, todo o processo descrito termina no maximo quando metade dos competidores em A tiver sido transferida para B. []'s Rogerio Ponce Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] escreveu: 3. Numa competição de matemática, alguns competidores são amigos. Amizade é sempre mútua. Chame um grupo de competidores de clique se quaisquer dois entre eles são amigos. Em particular, qualquer grupo com menos de dois amigos é um clique. O número de membros de um clique é o seu tamanho. Dado que, nesta competição, o maior tamanho de um clique é par, prove que os competidores podem ser divididos em duas salas tais que o maior tamanho de um clique em uma sala é igual ao maior tamanho de um clique na outra sala. []'s Shine Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. [1]Saiba mais. == ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re:Res:[obm-l] IMO 2007
João, clique é um grupo de competidores onde quaisquer dois entre eles são amigos. Portanto, a competição pode não ser um clique. Abraços, -- Início da mensagem original --- Tentativa ao terceiro problema A própria competição (que encerra todos os competidores) é clique, pois : 1) Há alguns competidores amigos; 2) A amizade é mútua, então, há pelo menos dois amigos na competição. ... [EMAIL PROTECTED] escreveu: - 3. Numa competição de matemática, alguns competidores são amigos. Amizade é sempre mútua. Chame um grupo de competidores de clique se quaisquer dois entre eles são amigos. Em particular, qualquer grupo com menos de dois amigos é um clique. O número de membros de um clique é o seu tamanho. Dado que, nesta competição, o maior tamanho de um clique é par, prove que os competidores podem ser divididos em duas salas tais que o maior tamanho de um clique em uma sala é igual ao maior tamanho de um clique na outra sala. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: Obm-l-MllGbsmmN, Você Recebeu um novo Cartão.
Poxa Júnior, inicialmente o vírus tinha ido apenas para os assinantes da lista. Sua intenção era boa, mas você acaba de disseminá-lo para o público em geral, pois a lista fica online no majordomo... (era só você publicar o aviso SEM o endereço do vírus) Abraços, -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: OBM obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 25 Jul 2007 12:56:37 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Re: Obm-l-MllGbsmmN, Você Recebeu um novo Cartão. Cuidado galera, isso é um vírus. Eu pensei que a lista conseguia barra esse tipo de ataque tão trivial hoje em dia. Mas fica o aviso. É um .exe UOL [EMAIL PROTECTED], UOL [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá , Carol lhe enviou um cartão. Para visualizá-lo, clique no link abaixo: http://endereço_do_vírus Este cartão ficará disponível por 15 dias. Envie um cartão para um amigo. Clique no seguinte endereço: http://www.uol.com.br/cartoes __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ || |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' Msn:[EMAIL PROTECTED] Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do elevador
Ué Saulo, então não é com resposta e tudo - tem apenas uma resposta. E qual é a resposta? Pensando bem, quase todos problemas daqui devem estar resolvidos em algum lugar. Mas saber disso não adianta nada pra maioria de nós, a não ser que o lugar seja em algum site da internet, concorda? Saulo Nilson wrote: esse problema e classico, tem no livro fundamentos da fisica com resposta e tudo, mas nao com resoluçao. On 5/5/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola' Emanuel, Como a plataforma exerce uma forca Fn sobre o homem, entao o homem exerce uma forca igual e de sentido contrario no elevador. Portanto, sobre o elevador atuam as forcas Fn e M*g para baixo, e uma forca T (tensao na corda) para cima, cuja resultante acelera o elevador de a . Portanto T - (Fn + M*g) = M*a ou seja, T = Fn + M*g + M*a Por outro lado, o homem, que sobe com aceleracao a , sofre a acao das seguintes forcas: o seu proprio peso (g*m) , a tensao na corda (T) , e a forca da plataforma (Fn) . Assim, a*m = T + Fn - g*m Substituindo o valor de T: a*m = Fn + M*g + M*a + Fn - g*m ou seja Fn = (a+g) * (m-M) / 2 []'s Rogerio Ponce *Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá a todos da lista, estou empacado nesse problema de mecânica da segunda fase da ufscar. O sistema esquematizado compõe de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a intensidada da força Fn que a plataforma exerce no operador. Protótipo do desenho: http://epaduel.org/tmp/252.jpg (by paint). Agradeço desde já a ajuda de vocês! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Quebrando a RSA...
Lembram do genio incompreendido Fabiano Sutter? Pois parece que conseguiu uma bolsa no CBPF (Centro Brasileiro de Pesquisas Fisicas), onde escreveu um artigo sobre Fatoracao de numeros grandes. Verdade que nao entendi nada, mas fiquei curioso, e talvez alguem possa explicar melhor do que se trata. (Nicolau, Santa Rita, Nehab,...) O link para o pdf e' http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0603180 Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Oi Rogério, não era de hoje que eu implorava por alguma solução. Não sei se os outros não gostaram ou não tiveram saco para ir até ao final, mas eu li agora sua demonstração e gostei bastante. Muito obrigado! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 20 Sep 2006 01:14:08 + (GMT) Assunto: Re: [obm-l] Triangulo Equilatero Ola' amigos, vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) ! Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM, tambem for equilatero. OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas, e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas. Alem disso, os simbolos = e = assumirao o significado de menor ou igual e maior ou igual. Tambem usarei * em lugar de graus , na medida de alguns angulos. Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas, a respeito de triangulos. Teorema 1 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z. Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se, o lado x e' maior que o lado y. --- Reescrevendo isso: (XY) -- (xy) Provemos a ida (XY) -- (xy) : Seja XY . Entao, a) suponhamos X = 90* : entao Y X = 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(X). Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y x. b) suponhamos X 90* : entao Y 180* - X 90* Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) sin(180* - X) = sin(X). Portanto, pela lei dos senos, y x. Para provar a volta, (xy) -- (XY) , basta usarmos a contrapositiva, isto e', (p -- q) -- (~q -- ~p) . Em outras palavras, basta provarmos que (X = Y) -- (x = y) Usando a ida, com letras invertidas, temos que (XY) -- (xy) . E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) -- (x=y). Assim, o teorema esta' demonstrado. Observe que a volta tambem poderia ser provada usando-se uma argumentacao semelhante 'a da ida. Teorema 2 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y. Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z. ( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo) --- Suponhamos x e y constantes, e que xy. Pelo teorema.1, X = Y. Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja, x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) . Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui. Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta. Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se). Chamemos este resultado de propriedade 3. Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja, z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X) Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta. Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero, no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar. Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que necessariamente X diminui. Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se). Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3). Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta. Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se). Assim, o teorema 2 esta' demonstrado. Dele, decorrem os seguintes corolarios: --- Corolario 2a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1X2 se e somente se Z1Z2 . --- Corolario 2b Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1y1, entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 . --- Teorema 3 Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que x e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia no mesmo sentido que a variacao do lado z. (o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo) --- O teorema 3 e' consequencia da propriedade 3, apontada na demonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios: --- Corolario 3a Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 , entao Z1Z2 se e somente se z1z2 . --- Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade) Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 , entao Z1=Z2 se e somente se z1=z2 . --- Vamos agora ao problema original: Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA,
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] COMO RESOLVER S ÉRIES?
Oi Paulo, não entendi sua solução. Acho que você provou que o triângulo ABC é equilátero apenas para o caso particular em que K está sobre B, e penso que a questão é outra. Minha interpretação é que se pede para provar que ABC é equilátero sempre que KLM for equilátero, e não para um particular KLM. Saudações! Na questao do triangulo, suponha que ABC nao seja equilatero. Entao com certeza existira um lado menor ou igual aos dois outros. Sem perda de generalidade podemos supor que este lado e AB. Facamos K=B e tomemos L em BC tal que BL=AB e M em CA tal que CM=AB. Considerando o triangulo KLM ... --*--*-- Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1722,170906 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
E então gente? Eu também tentei esse caminho do Marcelo e ficou cada vez pior. O caminho do Carlos Nehab também tentei, mas não consegui passar de 2 triângulos grudados em cada um dos 3 lados do triângulo equilátero. Tô achando tudo muito complicado. Alguém tem mais alguma sugestão? Por favor, uma solução qualquer serve! Obrigado! -- Início da mensagem original --- Assunto: Re: [obm-l] Outra de Triangulo Olá, sem perda de generalidade, vamos colocar o ponto A na origem do sistema, e o lado AB no eixo X. assim, temos: A = (0, 0) B = (b, 0) C = c * (cos(t), sen(t)) temos que mostrar que b = c e que t = 60. agora, vamos determinar esse pontos.. K = (k, 0) = k/b * B M = C - (k/c) * C = (1 - k/c) * C agora, L já é mais dificil de determinar... sabemos que: L - B = k * (C - B) / || C - B || logo: L = B + k * (C - B) / || C - B || apenas para escrever junto, temos: K = k/b * B = (k, 0) M = (1 - k/c) * C = (c - k) * (cos(t), sen(t)) L = B + k * (C - B) / || C - B || agora, sabemos que || M - K || = || K - L || = || M - L || M - K = (c - k) * C / c - k * B / b = [(c-k)cos(t) - k, (c-k)sen(t)] || M - K ||^2 = (c-k)^2 - 2k(c-k)cos(t) + k^2 K - L = k * B / b - B - k * (C - B) / || C - B || = (k - b) * B / b - k * (C - B) / || C - B || K - L = (k-b, 0) - k * [c * cos(t) - b, c * sen(t)] / || C - B || notamos que || C - B || = a = c^2 + b^2 - 2bc * cos(t), que é o comprimento do lado BC... assim: K - L = (k - b, 0) - k * [ c * cos(t) - b, c * sen(t)] / a = ( k - b - k * c * cos(t) / a, - k * c * sen(t) / a ) bom, desejo muita sorte a quem for continuar as contas hehehe... po... desanimei! to pensando em um jeito mais facil.. como ja ta escrito até aqui.. estou enviando.. as vezes pode ajudar alguem... abraços Salhab fernandobarcel escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Matemático resolve pro bl ema centenário e recusa US$ 1 m ilhão
O assunto é offtopic, mas fiquei chocado com o que vai pela cabeça desse pessoal! Quer dizer que só matemáticos conseguem ter atitudes humildes?! E quer dizer que quem trabalha com matemática pura durante 10 anos não deve fazê-lo por dinheiro? então, todos os profesores de matemática deveriam dar aula de graça?! E quem ganha um prêmio Nobel, ou equivalente? aceitá-lo seria fraqueza de caráter? ou menos nobre, talvez? Adoro o meu trabalho, mas não aceitaria trabalhar de graça se não tivesse de onde tirar o meu sustento. Como não sou filho de pai rico, e comumente tenho vontade de fazer mais do que posso, jamais recusaria um prêmio em dinheiro (ou qualquer outra modalidade). Não sou excêntrico, nem hipócrita, tampouco demagogo - me considero um cidadão comum, que vive num país capitalista. Abraços a todos! -- Início da mensagem original --- Assunto: Re: [obm-l] Matemático resolve probl ema centenário e recusa US$ 1 milhão Sem dúvida, é uma atitude humilde, e que só os matemáticos conseguem ter, quando acabei de ler a notícia, do meu computador o aplaudi e fiz uma reverencia, matemática não é dinheiro, não acredito que alguém possa passar 10 anos trabalhando em matemática pura por dinheiro, o bonito do sucesso do Perelman além da resolução magnífica foi se recusar a receber essa quantia. Talvez outros não pensem assim, mas quando se entrar no ramo da matemática subentende-se que você não está nem aí pra dinheiro e que o pouco que você ganha lhe torna uma pessoa feliz, porque você faz o que gosta e tem amor por isso. Um abraço a todos os matemáticos do Brasil! Que isso sirva de exemplo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] decomposicao por serie de ondas quadradas
Já resolvi: sin(x) = pi/4 * [ SQ(x) - SQ(3x)/3 - SQ(5x)/5 - SQ(7x)/7 - SQ(11x)/11 - SQ(13x)/13 + SQ(15x)/15 ...] A observação sobre os primeiros termos da expansão é que o coeficiente do 9o harmonico é zero, e o coeficiente do 15o harmonico é positivo. Abraços a todos! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 12 Jul 2006 19:30:31 -0300 Assunto: [obm-l] decomposicao por serie de ondas quadradas Perguntando de outra forma: Assim como podemos decompor uma função periódica em uma soma de senos e cossenos (expansão de Fourier), também deve ser possível fazer o mesmo utilizando ondas quadradas em lugar de ondas senoidais. Chamando de seno quadrado a função SQ(x), de período 2pi, tal que: SQ(x)= 1, x=[0,pi) SQ(x)= -1, x=[pi,2pi) e chamando de cosseno quadrado a função CQ(x), de período 2pi, tal que: CQ(x)= 0, x=[-pi/2, pi/2) CQ(x)= 1, x=[pi/2, 3pi/2) como ficaria a expansão da função seno(x) em função dos senos e cossenos quadrados ? Da mesma forma que a expansão de Fourier da função SQ(x) usa apenas os senos, acredito que provavelmente apenas a função SQ deva ser usada na expansão do seno, mas quais são os coeficientes dessa expansão? OBRIGADO! PS: Ao genial Paulo Santa Rita: fiquei aguardando a continuação da solução... -- Início da mensagem original --- Bom dia! Como faço para decompor uma onda senoidal em uma série de ondas quadradas? (é o equivalente de Fourier para ondas quadradas, mas não sei como fazer) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] decomposicao por serie de ondas quadradas
EM mensagem anterior escrevi 0 em vez de -1 . A correta definição de CQ(x), com período 2pi, é a seguinte: CQ(x)= -1, x=[-pi/2, pi/2) CQ(x)= 1, x=[pi/2, 3pi/2) -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Thu, 13 Jul 2006 05:11:59 -0300 Assunto: Re:[obm-l] decomposicao por serie de ondas quadradas Já resolvi: sin(x) = pi/4 * [ SQ(x) - SQ(3x)/3 - SQ(5x)/5 - SQ(7x)/7 - SQ(11x)/11 - SQ(13x)/13 + SQ(15x)/15 ...] A observação sobre os primeiros termos da expansão é que o coeficiente do 9o harmonico é zero, e o coeficiente do 15o harmonico é positivo. Abraços a todos! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 12 Jul 2006 19:30:31 -0300 Assunto: [obm-l] decomposicao por serie de ondas quadradas Perguntando de outra forma: Assim como podemos decompor uma função periódica em uma soma de senos e cossenos (expansão de Fourier), também deve ser possível fazer o mesmo utilizando ondas quadradas em lugar de ondas senoidais. Chamando de seno quadrado a função SQ(x), de período 2pi, tal que: SQ(x)= 1, x=[0,pi) SQ(x)= -1, x=[pi,2pi) e chamando de cosseno quadrado a função CQ(x), de período 2pi, tal que: CQ(x)= 0, x=[-pi/2, pi/2) CQ(x)= 1, x=[pi/2, 3pi/2) como ficaria a expansão da função seno(x) em função dos senos e cossenos quadrados ? Da mesma forma que a expansão de Fourier da função SQ(x) usa apenas os senos, acredito que provavelmente apenas a função SQ deva ser usada na expansão do seno, mas quais são os coeficientes dessa expansão? OBRIGADO! PS: Ao genial Paulo Santa Rita: fiquei aguardando a continuação da solução... -- Início da mensagem original --- Bom dia! Como faço para decompor uma onda senoidal em uma série de ondas quadradas? (é o equivalente de Fourier para ondas quadradas, mas não sei como fazer) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Bunimovich Stadium - pedido de papers
Você pode pegá-los em: http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1103904878 http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1103908591 Abraços --- Oi lista. Sou eu de novo. Por acaso alguém aí tem os seguintes papers do Leonid Bunimovich? # L.A.Bunimovich, On the Ergodic Properties of Nowhere Dispersing Billiards, Commun Math Phys, 65 (1979) pp. 295-312. # L.A.Bunimovich and Ya. G. Sinai, Markov Partitions for Dispersed Billiards, Commun Math Phys, 78 (1980) pp. 247-280. Seria possível enviar pra mim? Muito obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] decompor em serie de ondas quadradas
Bom dia! Como faço para decompor uma onda senoidal em uma série de ondas quadradas? (é o equivalente de Fourier para ondas quadradas, mas não sei como fazer) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] decomposicao por serie de ondas quadradas
Perguntando de outra forma: Assim como podemos decompor uma função periódica em uma soma de senos e cossenos (expansão de Fourier), também deve ser possível fazer o mesmo utilizando ondas quadradas em lugar de ondas senoidais. Chamando de seno quadrado a função SQ(x), de período 2pi, tal que: SQ(x)= 1, x=[0,pi) SQ(x)= -1, x=[pi,2pi) e chamando de cosseno quadrado a função CQ(x), de período 2pi, tal que: CQ(x)= 0, x=[-pi/2, pi/2) CQ(x)= 1, x=[pi/2, 3pi/2) como ficaria a expansão da função seno(x) em função dos senos e cossenos quadrados ? Da mesma forma que a expansão de Fourier da função SQ(x) usa apenas os senos, acredito que provavelmente apenas a função SQ deva ser usada na expansão do seno, mas quais são os coeficientes dessa expansão? OBRIGADO! PS: Ao genial Paulo Santa Rita: fiquei aguardando a continuação da solução... -- Início da mensagem original --- Bom dia! Como faço para decompor uma onda senoidal em uma série de ondas quadradas? (é o equivalente de Fourier para ondas quadradas, mas não sei como fazer) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Tres problemas olimpicos
Oi Paulo, obrigadíssimo pela sua boa vontade, mas quanto mais eu penso, mais tenho certeza que esse problema não tem solução analítica. Não consegui ver nenhuma forma simples para inserir alterações de percurso. Além da condição de contorno de não poder sair do quadriculado, a única regra é que para cada um dos caminhos válidos, qualquer trecho (ou subsequência) da sequência total de letras não pode ter simultaneamente #S=#I e #D=#E. Mas não sei como encaixar isso em casos simples de análise combinatória. Agradecerei muito se você ou algum outro colega da lista mostrar alguma solução para o problema. Fernando. -- Início da mensagem original --- Ola fernando e demais colegas desta lista ... OBM-L, No problema abaixo, considere os casos que voce usa S ( subida ) e D( Direita), que trata-se de um caso simples estudado em analise combinatoria. Para cada um destes casos particulares descubra qual a forma valida de inserir par de letras I (desce ) e E ( Esquerda ) Exemplo : de (0,0) a ((3,2) O caminho SSDDD e um caminho valido classico. Verifique que SSDIDSD e uma variacao de SSDDD apenas acrescentando I e S ( I e S se anulam ). Verifique que para cada caminho classico ( usando S e D ) o numero de maneiras de altera-lo incluindo I's e/0u E's e constante e so depende do caminho Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1105,190506 PROBLEMA 3 ) Num quadriculado escolhemos dois pontos A e B tais que A fique a esquerda e abaixo de B. De quantas maneiras distintas podemos avancar de A ate B atraves dos movimentos S ( subir verticalmete uma unidade), I ( descer verticalmente uma unidade ), D ( avancar horizontalmente uma unidade a direita ) e E ( retroceder horizontalmente uma unidade a esquerda ) ? Mas nao podemos sair do retangulo cujos vertices sao A e B e nao podemos passar por um mesmo ponto mais de uma vez. SUGESTAO : suponha A na origem de um sistema cartesiano Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 1,2317,070506 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Quem resolveu TRIANGULO EQUILATERO ?
Bom dia, alguem sabe resolver a questão 'TRIANGULO EQUILATERO' ? http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg33216.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
