a) Se f , g e h
estao em AR, entao
(g+f))(x) = g(x) + f(x) = f(x) + g(x) =
(f+g)(x) , em virtude da propriedade comutativa que adicao apresenta nos
reais. Assim, a propriedade comutativa eh satisfeita em
AR.
(f + (g+h)(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + g(x)
+ h(x) = (f+g)(x) + h(x) = ((f+g) + h)(x), de modo que AR
possui a propriedade associativa.
(g+h)(x) sendo n a
funcao identicamente nula, n(x) =0 para todo x de A, entao para toda f de AR
temos (f + n)(x) = (n+f)(x) = n(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x), de modo que n
eh o elemnto neutri de AR com relacao aa
adicao.
E para cada f de AR existe a funcao
-f dada por (-f)(x) = -f(x), sendo imediato que f + (-f) = n. Assim, todo elemto
der AR eh simetrizavel.
Assium, AR eh um grupo comutativo
com relacao aa adicao.
Com relacao aa multiplicacao, sao
validas as propriedades comutativas e associativa e ewxiste elemto neuto, a
funcao I dada por I(x) = 1 para todo x de A. Mas nem toda f eh
simetrizavel, pos se tivermos f(x) = 0 para algum x de A, entao f nao eh
simetrizavel. Apenas as funcoes que nunca se anulam o
sao.
As outras eguem passos similares. E
de fato, para termos a exstencia de f^(-1), f tem que ser injetora, embora o
dominio de f^(-1) nao tenha que ser todo o R.
Artur.
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Daniel S.
BrazEnviada em: sexta-feira, 31 de março de 2006
12:10Para: OBM-LAssunto: [obm-l] Álgebra - Grupos
aditivos e multiplicativos
Senhores,
[Problema do livro de álgebra do Iezzi, capítulo IV - Grupos e
Subgrupos]
Seja A um subconjunto não vazio. Seja AR o conjunto das aplicações de A
em R (R=Reais).Definimos uma operação de adição e multiplicação em AR,
para funções de A em R, da seguintemaneira:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)(f*g)(x) = f(x)*g(x)
a) Mostre que AR dotado da adição possui a estrutura de um grupo.b)
Mostre que AR dotado da multiplição não possui, em geral, a estrutura de um
grupo.
a)(f+g)+h = f+(g+h) -> É associativaf+e = f -> e = 0 ->
Possui elemento neutrof+f^(-1) = e -> f^(-1) = -f -> Aqui está minha
dúvida, f^(-1) é uma função de R em A,então -f(x) não necessariamente
estará em A... Ex.: A = {1,2} ; f(x) = x + 1 -> f^(-1)(x) = -x-1 ->
f^(-1)(x) não está em A.onde estou errando?
b)(f*g)*h = f(*g*h) -> É associativaf*e = f -> e = 1 ->
Possui elemento neutrof*f^(-1) = e -> f^(-1) = 1/f -> A mesma
dúvida...
obrigado.
Daniel.
