[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda:OBM e Polônia
2010/6/16 Luiz Paulo > Questão2 (Polônia-92) > Determine todas as funções reais de variáveis reais que obedecem: > f(x+y)-f(x-y)=f(x).f(y) > > O que eu fiz: > 1)x=y=0 implica em f(0)=0 > 2)x=y=a/2 implica f(a)-f(0)=[f(a/2)]^2 implica f(a)>=0 para todo a real > 3) Tomando x=0, teremos f(0+y)-f(0-y)=f(0).f(y) implica f(y)=f(-y), logo f é > par e consequentemente f é não injetora no conjunto dos reais. > Aí eu pareí. Bom, eu continuei daonde você deixou. Note que f(4x) = f(2x)^2 = f(x)^4. Vamos calcular f(3x), deve dar pra fazer de várias formas. f(3x + x) - f(3x - x) = f(3x)f(x) f(4x) - f(2x) = f(3x)f(x) f(x)^4 - f(x)^2 = f(3x)f(x) f(2x + x) - f(2x - x) = f(2x)f(x) f(3x) - f(x) = f(x)^3 f(3x) = f(x) + f(x)^3 Agora multiplique essa última por f(x) dos dois lados, e você verá que f(x)^4 - f(x)^2 = f(3x)f(x) = (f(x) + f(x)^3)f(x) = f(x)^2 + f(x)^4 => f(x)^2 = 0 => f(x) = 0. Equações funcionais demandam bastante confiança... e às vezes um bocado de trabalho... vide o problema de Equações funcionais da última ITYM : http://sites.google.com/site/wwwitymorg/official-2009/Problems-ITYM2009.pdf?attredirects=0 Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda:OBM e Polônia
Oi, Luiz gostaria de saber se alguém conhece algum site onde possa encontrar a solução das últimas olimpíadas da Polônia. Você tem as provas? Eu não. O que posso te ajudar é pouco. Se você tiver a prática de consultar sites em idiomas pouco usuais e usar o tradutor do Google, em geral dá para se virar. É o que eu faço, sistematicamente, quando não encontro uma referência em idiomas razoáveis (= ocidentais)... Olhe aqui: http://www.mimuw.edu.pl/~wwwom/index2.php?poziom=9&main=zadania.php As olimpíadas colegiais estão em http://www.omg.edu.pl/zadania.php?menu=off Prova colegial de 2009/2010 http://www.omg.edu.pl/download/zadania/3etap10r.pdf Por exemplo, se você colocar o Google para traduzir a primeira questão ele nos manda a gracinha Esses dados são números inteiros a, b, c> 1, o maior divisor comum de a-1, b-1, c-1 é maior do que o primeiro Prove que o número de ABC-1 é complexa. que dá para interpretar razoavelmente como: Dados a, b, c> 1, com o mdc entre a-1, b-1, c-1 maior do que 1, prove que abc-1 é composto. Veja no pdf a solução... que dá para entender mesmo que estivesse escrita em "marciano". Treine fazer estas brincadeiras. Em 10 anos (mais ou menos) você estará lendo matemática em polonês... Ou se for tão limitado quanto eu, pelo menos entenderá "número primo" em 43 idiomas diferentes".. em menos de 1/2 hora.. o que por si só já fará um sucesso danado. Quando eu falo "número primo" para minha mulher, até hoje ela me olha com um fascinante olhar que acho super confortável supor que é de admiração... Mas se ainda por cima for em polonês deconfio que o casamento acaba... Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda:OBM e Polônia
Bom dia colegas da Lista, eu gostaria da ajuda de vocês em 2 questões que empaquei. São elas: (1ªFase da XXX OBM-Nível 3) O número de soluções reais do sistema Equação 1: a^2=b+2 Equação 2: b^2=c+2 Equação 3:c^2=a+2 É imediato que a,b,c>=2. Daí eu somei as 3 equações, fatorando, cheguei a equação a(a-1) +b(b-1)+c(c-1)=6. Cruzando a restrição dos valores de a com essa equação cheguei a resposta 8, entretanto achei muito comprida essa solução. Alguém tem outra? Questão2 (Polônia-92) Determine todas as funções reais de variáveis reais que obedecem: f(x+y)-f(x-y)=f(x).f(y) O que eu fiz: 1)x=y=0 implica em f(0)=0 2)x=y=a/2 implica f(a)-f(0)=[f(a/2)]^2 implica f(a)>=0 para todo a real 3) Tomando x=0, teremos f(0+y)-f(0-y)=f(0).f(y) implica f(y)=f(-y), logo f é par e consequentemente f é não injetora no conjunto dos reais. Aí eu pareí. Se alguém puder me dar essa dica e também gostaria de saber se alguém conhece algum site onde possa encontrar a solução das últimas olimpíadas da Polônia. Um abraço a todos, Luiz.
