Re: [obm-l] Angulo de 1 grau
Se 1 grau fosse construtivel, entao 20 graus tambem seria (facil). No entanto, 20 graus nao eh construtivel, como estah em todos os livros (por exemplo, Construcoes geometricas, de E.Wagner, apendice). JP - Original Message - From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 09, 2002 2:27 AM Subject: [obm-l] Angulo de 1 grau Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível, mas não lembro como provar... Alguém se habilita? Além disso, quais são os ângulos construtíveis por régua e compasso? Refiro-me aos ângulos de valores inteiros em graus, como por exemplo 15, 30, 45, 60 Para finalizar, sei que podemos bissectar um ângulo mas não trisectá-lo. É possível dividí-lo em n partes, n NÃO sendo uma potência de 2? Aliás, na faculdade um professora minha até me mostrou uma maneira de trissectar usando régua ESCALONADA e compasso. Mas foi só um comentário rápido e já se vai um bom tempo... Alguém? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Angulo de 1 grau
On Sat, Mar 09, 2002 at 02:27:08AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de
19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível,
mas não lembro como provar... Alguém se habilita?
A prova exige um pouco de álgebra. Chamamos um número complexo z de
*construtível* se existirem corpos K_0 = Q K_1 ... K_n
(onde o sinal significa 'é subcorpo de', imagine o sinal usual
de 'é subconjunto de', aquele U deitado) tais que z pertence a K_n
e K_{j+1} = K_j (w) para algum w com w^2 pertencente a K_j.
A notação K(x) significa 'o menor corpo contendo K U {x}'.
Identifique o plano com C, o conjunto dos complexos.
Não é difícil verificar que se começamos com pontos construtíveis
então qualquer construção com régua e compasso nos dá ainda pontos
construtíveis.
Falta portanto provar que z = cos(1) + i sen(1) não é construtível.
Se fosse, w = z^40 = cos(40) + i sen(40) também seria.
Mas o grau de Q(w) sobre Q é 6 e portanto o grau de qualquer
corpo K com w elemento de K é múltiplo de 3.
Por outro lado, os graus dos corpos K_n (na definição de número construtível)
são potências de 2.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Angulo de 1 grau
Jose Paulo Carneiro wrote: Se 1 grau fosse construtivel, entao 20 graus tambem seria (facil). No entanto, 20 graus nao eh construtivel, como estah em todos os livros (por exemplo, Construcoes geometricas, de E.Wagner, apendice). JP Não sei se me expressei bem, mas o problema de 19 me fez pensar no de 1. Quis colocar um problema SEPARADO do de 19, OUTRO problema, OUTRA discussão. O de 19 serviu apenas p/me inspirar.. :-)) Respondendo à resposta do Nicolau: Vou olhar com calma a sua resposta, mas gostaria de obter algo mais geométrico, se possível, puramente geométrico, apenas régua e compasso. Se for o caso, vale incluir lugares geométricos construtíveis ponto-a-ponto, como uma hipérbole, por exemplo. Afinal, Cabri, SketchPad e similares estão aí p/isso :-) (OBS: Quem já conhece, saiba que o SkewtchPad 4 já possui uma versão demo disponível p/downloads em www.keypress.com/sketchpad) []'s Alexandre Tessarollo - Original Message - From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 09, 2002 2:27 AM Subject: [obm-l] Angulo de 1 grau Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível, mas não lembro como provar... Alguém se habilita? Além disso, quais são os ângulos construtíveis por régua e compasso? Refiro-me aos ângulos de valores inteiros em graus, como por exemplo 15, 30, 45, 60 Para finalizar, sei que podemos bissectar um ângulo mas não trisectá-lo. É possível dividí-lo em n partes, n NÃO sendo uma potência de 2? Aliás, na faculdade um professora minha até me mostrou uma maneira de trissectar usando régua ESCALONADA e compasso. Mas foi só um comentário rápido e já se vai um bom tempo... Alguém? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Angulo de 1 grau
Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível, mas não lembro como provar... Alguém se habilita? Além disso, quais são os ângulos construtíveis por régua e compasso? Refiro-me aos ângulos de valores inteiros em graus, como por exemplo 15, 30, 45, 60 Para finalizar, sei que podemos bissectar um ângulo mas não trisectá-lo. É possível dividí-lo em n partes, n NÃO sendo uma potência de 2? Aliás, na faculdade um professora minha até me mostrou uma maneira de trissectar usando régua ESCALONADA e compasso. Mas foi só um comentário rápido e já se vai um bom tempo... Alguém? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
