RE: [obm-l] Compacidade
OK, agora entendi o que se pede. Mas naun vi ainda uma saida, vou pensar mais. Um abraco. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RE: [obm-l] Compacidade Data: 25/03/04 20:18 Oi Artur! O problema pode ser reformulado assim, se desejar: Seja X espaço métrico. Se para toda função contínua f :X em (0,infinito) positiva cominf > 0, entao X eh compacto. Acho q isso pode resolver o problema: Sendo X compacto, X eh completo e totalmente limitado. Se X não for compacto, então ou X não eh completo ou X não eh totalmente limitado. No primeiro caso, seja (x_n) uma sequencia de Cauchy convergindo para um ponto p do completamento de X, com p fora de X. Tome a funçao f : X em R+ dada por f(x) = d(p,x). Como vc deve saber, f eh continua. Mas, sendo (x_n) convergente a p, inf {f(x)} = inf {d(x,p)} = 0, o q eh uma contradição. Bom, ainda nao consegui o caso em q X nao eh totalmente limitado. Tertuliano Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi Tertuliano Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf {f(x)}? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Compacidade Olá para todos! Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo! 1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal q inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto. Grato por qualquer solução e/ou comentário. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! = Instruç! ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Compacidade
Oi Artur! O problema pode ser reformulado assim, se desejar: Seja X espaço métrico. Se para toda função contínua f :X em (0,infinito) positiva com inf > 0, entao X eh compacto. Acho q isso pode resolver o problema: Sendo X compacto, X eh completo e totalmente limitado. Se X não for compacto, então ou X não eh completo ou X não eh totalmente limitado. No primeiro caso, seja (x_n) uma sequencia de Cauchy convergindo para um ponto p do completamento de X, com p fora de X. Tome a funçao f : X em R+ dada por f(x) = d(p,x). Como vc deve saber, f eh continua. Mas, sendo (x_n) convergente a p, inf {f(x)} = inf {d(x,p)} = 0, o q eh uma contradição. Bom, ainda nao consegui o caso em q X nao eh totalmente limitado. Tertuliano Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi TertulianoNao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf{f(x)}?-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] OnBehalf Of Tertuliano CarneiroSent: Friday, March 19, 2004 5:32 PMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] CompacidadeOlá para todos!Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo!1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e talq inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto. Grato por qualquer solução e/ou comentário. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
RE: [obm-l] Compacidade
Oi Tertuliano, O problema 3 de sua segunda mensagem > 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto > compacto do R^n, f : X x K em > R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em > X, exista um único y em K > tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente > de x. pode tambem ser resolvido com base no conceito de grafico de uma funcao. Se X e K sao espacos metricos, entao o grafico de g:X->K eh o subconjunto de X x K dada por G = ((x,y) em X x Y : y = g(x)}. Se em X x K considerarmos a distancia entre (x,y) e (u,v) dada por D((x,y),(u,v)) = [D1(x,u)^2 + D2(y,v)^2]^(1/2), onde D1 e D2 sao as metricas em X e e em K, entao hah um teorema que diz: Se g:X->K for continua, entao G eh um subconjunto fechado de X x K. Se fizermos a hipotese adicional de K seja compacto, entao a reciproca eh verdadeira. Na prova que eu dei na oputra mensagem, eu acabei demonstrando esta reciproca. Voltando ao problema 3, temos que existe uma funcao g que, a cada x de X, associa y em K tal que f(x,y) =c. Temos tambem que {c} eh um subconjunto fechado de R^p. A continuidade de f em X x K acarreta, portanto, que o conjunto G = {(x,y) em X x K : f(x,y) = c}, a imagem inversa sob f de {c}, seja fechado em X x K. Das definicoes de g e do conceito de grafico de uma funcao, segue-se G eh o grafico de g. Como G eh fechado e K eh compacto, segue-se do teorema citado que g eh continua em X, ficando assim demonstrada a sua proposicao. Observe que a mesma permanece verdadeira e X, K forem espacos metricos quaisquer e a funcao f tiver valores em um espaco metrico generico Y. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Compacidade
-Original Message- Oi tertuliano, vou tentar resolver o (3) 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x. Seja g:X->K a funcao que a cada x de X associa y de K tal que f(x,y) = c. As condicoes dadas garantem a existencia desta funcao. Fixemos um x em K e seja (x_n) uma sequencia de X que convirja para x. Mostraremos que (g(x_n)) converge para g(x), condicao que garante a continuidade de g em x. Em X x K, consideremos a sequencia (x_n, y_n) na qual y_n = g(x_n). Temos entao que (f(x_n, y_n)) = (c) eh uma sequencia constante em R^p. Como K eh compacto, (y_n) contem subsequencias convergentes. Seja (y_n_k) uma destas subsequencias e seja y, y em K, o seu limite. Logo, (x_n_k, y_n_k) converge para (x,y) em X x K. Da continuidade de f em X x K, segue-se que (f(x_n_k, y_n_k)) converge em R^p para f(x,y). Por construcao, (f(x_n_k, y_n_k)) eh uma sequencia constante, com todos os termos iguais a c. Logo, f(x_n_k, y_n_k))converge para c, do que concluimos, pela unicidade do limite de sequencias, que f(x,y) = c. Temos entao que y = g(x) e, como existe um unico g(x), concluimos que todas as subsequencias convergentes de (y_n) tem o mesmo limite y = g(x). Mas como K eh compacto, K eh limitado, o que implica que todas as suas sequencias - logo (y_n) - sejam limitadas. Concluimos assim que (y_n) eh uma sequencia limitada tal que todas as suas sequencias convergentes apresentam o mesmo limite y = g(x). Conforme sabemos da Analise, esta condicao acarreta que a propria (y_n) convirja para y = g(x). Conclusao: Para toda sequencia (x_n) em X que convirja para x, a sequencia (y_n) = (g(x_n)) converge para y = g(x). Logo, g eh continua em x e, como isto se aplica a todo x de X, a a proposicao fica demonstrada. Artur <>
RE: [obm-l] Compacidade
Oi Tertuliano Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf {f(x)}? Vou tentar, por ora, resolver o segundo problema. Sejam Dx e Dy as metricas nos espacos X e Y. O fato de f ser localmente Holder acarreta que f seja continua em X. Como X eh compacto, temos que f(X) tambem eh. Logo, f(X) eh limitado (totalmente limitado), e f eh limitada em X. Admitamos que f nao seja Holder em X e fixemos algum a>0. Para todo natural n, existem entao x_n e y_n em X tais que Dy(f(x_n), f(y_n)) >= n*Dx(x_n, y_n)^a (do contrario, f seria Holder com parametros n e a). Afirmamos que a sequencia de numeros reais Dx(x_n, y_n) converge para zero. Se isto nao se verificasse, existiram s>0 e subsequencias (x_n_k) e (y_n_k) tais que Dx(x_n_k , y_n_k) >=s para todo k. Mas isto implicaria que Dy(f(x_n_k), f(y_n_k)) >= n_k*s^a para todo k, contrariando a conclusao anterior segundo a qual f eh limitada em X (n_k cresce ilimitadamente com k e s^a>0). Como X eh compacto,(x_n) contem uma subsequencia (x_n_k) que converge para algum u de X. Temos entao que Dx(x_n_k, y_n_k), a qual eh subsequencia de Dx(x_n, y_n), converge para zero, o que implica que (y_n_k) tambem convirja para u. Dado r>0 arbitrariamente escolhido, para k suficientemente grande obtemos x_n_k e y_n_k em B(u,r). Pelas nossa hipoteses, para tais valores de k temos tambem que Dy(f(x_n_k), f(y_n_k)) >= n_k*Dx(x_n_, y_n_k)^a. Como n_k torna-se arbitrariamente grande quando k tambem se torna, isto significa que, para o parametro a que fixamos, a restricao de f a B(u,r) nao eh Holder. Mas como r>0 e a>0 sao ambos arbitrarios, isto significa que, contrariamente aa hipotese basica, f nao eh localmente Holder em u. Esta contradicao prova o teorema (Assim espero! Confira bem a prova que posso ter cometido algum erro..). Uma saida talvez mais natural para esta prova seria, para cada x de X, escolher uma vizinhanca de raio r_x na qual a restricao de f seja Holder. A colecao destas vizinhancas cobre X que, por ser compacto, eh coberto por um numero finito das mesmas. Mas embora esta saida seja mais natural, eu me enrolei neste ponto e empaquei. Talvez vc ache uma saida mais elegante por aqui. Quando possivel, eu prefiro provas diretas do que por contradicao, mas neste caso naum consegui. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Compacidade Olá para todos! Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo! 1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal q inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto. 2) Seja X um espaço métrico compacto e f : X em Y localmente Holder, ou seja, dado x em X, existe B(x,r) tq f restrita a B é Holder. Mostre q se f é localmente Holder, então f é Holder. (Y é espaço métrico) Lembrando: f é Holder se existem a > 0 e c > 0 tq d(f(x) - f(y)) <= c*d(x,y)^a, para todo x ey em X. 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x. Grato por qualquer solução e/ou comentário. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Compacidade
Olá para todos! Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo! 1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal q inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto. 2) Seja X um espaço métrico compacto e f : X em Y localmente Holder, ou seja, dado x em X, existe B(x,r) tq f restrita a B é Holder. Mostre q se f é localmente Holder, então f é Holder. (Y é espaço métrico) Lembrando: f é Holder se existem a > 0 e c > 0 tq d(f(x) - f(y)) <= c*d(x,y)^a, para todo x ey em X. 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x. Grato por qualquer solução e/ou comentário. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!