[obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Boa tarde,
Eu acho este problema interessante:
Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh
denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
um conjunto "insignificante".
Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
eh o seu comprimento.
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Só pra evitar ter que demonstrar um resultado bastante intuitivo pra
quem quiser tentar o problema, é bom lembrar que a medida de Lebesgue
satisfaz (como toda medida positiva que se preze) a desigualdade da
reuni~ao enumerável, ou seja:
m( Uniao de A_i ) <= Soma m(A_i), para uma seqüência A_i de conjuntos.
Dá pra provar isso usando a definiç~ao do Arthur, mas isso eu chamaria
de "um outro exercício" porque é bem usado em outras coisas.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 10/11/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Dada uma enumeracao {r_n} dos racionais da reta real, tome, para cada n, um
intervalo aberto de comprimento eps/2^(n+1) e centro em r_n.
Ponha A = uniao destes intervalos.
[]s,
Claudio.
on 11.10.05 13:45, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RES: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Exato.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Claudio Buffara
Enviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 15:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Dada uma enumeracao {r_n} dos racionais da reta real, tome, para cada n, um
intervalo aberto de comprimento eps/2^(n+1) e centro em r_n.
Ponha A = uniao destes intervalos.
[]s,
Claudio.
on 11.10.05 13:45, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no
entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio.
Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao
eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais,
que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas,
eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um
intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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