Re: [obm-l] Continuidade uniforme

2005-01-10 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Eh isso ai. Eu dei uma solucao um pouco diferente, baseada em sequencias,
mas que eh a mesma coisa. Interessante que eh muito mais facil provar esta
resultado mais geral do que provar diretamente seucorolario de que f
nao eh periodica. Esta conclusao pode ser generalizada para qualquer a
1 (em vez de apenas a =2, caso do
quadrado),Artur

- Mensagem Original De:
obm-l@mat.puc-rio.brPara: "obm-l@mat.puc-rio.br"
obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Continuidade
uniformeData: 07/01/05 21:01on
07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Achei este problema interessante:  Mostre que, se f:R -R
eh continua, periodica e nao constante em R, entao g(x) = f(x^2) nao
eh uniformemente continua em R. Nao eh dificil mostrar isto. E com
isto, concluimos como corolario aquilo que jah foi aqui discutido,
ou seja, g nao eh periodica em R. Artur Seja a  0 o
periodo de f.Como f eh continua, teremos que lim(n - infinito)
f(x + y/n) = f(x),quaisquer que sejam x e y reais.Como f eh
nao-constante, vai existir b tal que:0  b  a/4 e |f(2*raiz(a*b)
- f(0)| = 2*eps  0Logo,|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) -
g(raiz(n*a))| =|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =|f(b/n +
2*raiz(a*b)) - f(0)|  eps, para n suficientemente grande.No
entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.Ou
seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x -
y|torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece
maior doque uma quantidade positiva fixa (eps).Logo, g nao eh
uniformemente
continua.[]s,Claudio.=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Continuidade uniforme

2005-01-07 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Achei este problema interessante:

Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao
g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R.
Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo
que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R.
Artur


OPEN Internet e Informática
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Continuidade uniforme

2005-01-07 Por tôpico Claudio Buffara 
on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Achei este problema interessante:
 
 Mostre que, se f:R -R eh continua, periodica e nao constante em R, entao
 g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R.
 Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo
 que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R.
 Artur
 
Seja a  0 o periodo de f.

Como f eh continua, teremos que lim(n - infinito) f(x + y/n) = f(x),
quaisquer que sejam x e y reais.

Como f eh nao-constante, vai existir b tal que:
0  b  a/4  e  |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps  0

Logo,
|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| =
|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =
|f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)|  eps, para n suficientemente grande.
 
No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.

Ou seja, encontramos x = raiz(n*a)  e  y = x + raiz(b/n)  tais que |x - y|
torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do
que uma quantidade positiva fixa (eps).

Logo, g nao eh uniformemente continua.

[]s,
Claudio.

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