Re: [obm-l] Cubo perfeito
Estes problemas literalmente gritam por uma solução que use congruências. Uma forma seria escrever este numerão de forma mais implícita, como 10^a+5*10^b+1 e usar módulo 9 ou 11 (porque 10 dá 1 ou -1 nesses módulos). Creio que outras formas seriam contraproducentes. Em 9 de janeiro de 2013 10:14, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Eu vi uma solução usando congruência módulo 9. Haveria outro caminho? -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Cubo perfeito Date: Tue, 8 Jan 2013 20:10:15 + Prove que 1000...5000...1(100 zeros entre 1 e 5 e 100 zeros entre 5 e 1) não é cubo perfeito. -- /**/ 神が祝福 Torres
RE: [obm-l] Cubo perfeito
Eu vi uma solução usando congruência módulo 9.Haveria outro caminho? From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Cubo perfeito Date: Tue, 8 Jan 2013 20:10:15 + Prove que 1000...5000...1(100 zeros entre 1 e 5 e 100 zeros entre 5 e 1) não é cubo perfeito.
[obm-l] Cubo perfeito
Prove que 1000...5000...1(100 zeros entre 1 e 5 e 100 zeros entre 5 e 1) não é cubo perfeito.
Re: [obm-l] Cubo perfeito
Prove que 1000...5000...1(100 zeros entre 1 e 5 e 100 zeros entre 5 e 1) não é cubo perfeito. D] Primeiramente, observe que: i) q1 = 3k → (3k)³=9*k* → q1 ≡ 0 mod 9 ii) q2 = 3k + 1→ (3k+1)³=9*k*+1 → q2 ≡ 1 mod 9 iii) q3 = 3k + 2→ (3k+2)³=9*k*+2 → q3 ≡ 8 mod 9 (com k e *k* inteiros) Agora, podemos reescrever o número em questão como: 1000...5000...1(100 zeros entre 1 e 5 e 100 zeros entre 5 e 1) = 10^202 + 5.10^101 + 1 e 10^202 + 5.10^101 + 1 ≡ 1 + 5 + 1 ≡ 7 mod 9 Como demonstramos acima, não existe nenhum cubo perfeito côngruo a 7 módulo 9, portanto provamos o que foi pedido. ■ ! ■ Sem mais. sds, Tiago Miranda Em 8 de janeiro de 2013 18:10, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Re: [obm-l] Cubo Perfeito
Vamos lá y^2=x^3-432-- x^3=y^2+432 -- 6^3x^3=6^3(y^2+432) agora observe que 216(y^2+432) = (y+36)^3-(y-36)^3 dessa forma temos (6x)^3 = (y+36)^3-(y-36)^3 agora use o ultimo teorema de fermat. y+36=0 ou y-36=0 e entao y=+/-36 para isso entao temos 6x=72, x=12. Solucao: y=+/-36 e x=12.Hugo Musso Gualandi [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mas como que eu faco isso? o x esta ao quadrado, o y ao cubo e 432 = 2^4*3^3 nao eh nem cubo nem quadrado. n naqo tem que ser interio e igual para todos?HugoFrom: Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Cubo PerfeitoDate: Fri, 3 Feb 2006 17:21:02 -0300 (ART)y^2=x^3-432. Use o ult! imo teorema de Fermat x^n=y^n+z^n e use o caso particular para n=3.Hugo Musso Gualandi <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Xi.. agora o problema fica mais dificil, vou ver se consigo pensar em algumaaneira para resolve-lo=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=- Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Cubo Perfeito
y^2=x^3-432. Use o ultimo teorema de Fermat x^n=y^n+z^n e use o caso particular para n=3.Hugo Musso Gualandi [EMAIL PROTECTED] escreveu: Xi.. agora o problema fica mais dificil, vou ver se consigo pensar em alguma aneira para resolve-lo=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Cubo Perfeito
Mas como que eu faco isso? o x esta ao quadrado, o y ao cubo e 432 = 2^4*3^3 nao eh nem cubo nem quadrado. n naqo tem que ser interio e igual para todos? Hugo From: Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Cubo Perfeito Date: Fri, 3 Feb 2006 17:21:02 -0300 (ART) y^2=x^3-432. Use o ultimo teorema de Fermat x^n=y^n+z^n e use o caso particular para n=3. Hugo Musso Gualandi [EMAIL PROTECTED] escreveu: Xi.. agora o problema fica mais dificil, vou ver se consigo pensar em alguma aneira para resolve-lo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cubo Perfeito
Xi.. agora o problema fica mais dificil, vou ver se consigo pensar em alguma aneira para resolve-lo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cubo Perfeito
exatamente. eu errei no enunciado. y^2=x^3-432. Desculpem.Hugo Musso Gualandi [EMAIL PROTECTED] escreveu: reorganizando a equacao temos quex^2 - y^2 = 432=(x - y)(x + y) = 2*2*2*2*3*3*3agora o problema se transforma em encontrar, com base nos fatores primos de 432, todos as possibilidades para (x - y) e para (x +y), calculando assim x e y apos um simples sistema de equacoes.Ex.: (x-y) = 2*2*2 e (x+y) = 2*3*3*3 == x=31 e y= 23 Isso eh uma solucao porque 529 = 961 - 432 (23^2 = 31^2 - 432)Eu acho que no final das contas vai dar um certo trabalo para analizar todas as possibilidades mas nao devem ter tantas assim no final das contas. No entanto deve ser possivel excluir de cara algumas possibilidades que nao terao resultados inteiros. Ex.: a soma de (x-! y) e (x+y) eh 2x, um numero par. Logo, tempos que escolher (x-y) e (x+y) de maneira que ambos sejam pares ou ambos impares. Como existem fatores de 2 envolvids, a ultima nao eh possivel. assim eliminamos as possibilidades onde (x+y) ou (x-y) sao iguais a1, 3, 9 e 27.Agora so falta descobrir se tem alguma coisa com um "cubo perfeito" no meio que eu nao achei e que facilitaria a minha vida no problema ou se eu so tou viajando mesmo...From: Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Cubo PerfeitoDate: Tue, 31 Jan 2006 22:57:34 + (GMT)Ache todas as solucoes inteiras de y^2=x^2-432.- Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.=Instruções para entrar na lista, s! air da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Cubo Perfeito
Ache todas as solucoes inteiras de y^2=x^2-432. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Cubo Perfeito
x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 432 = 2^4 * 3^3Isso ai vai dá 5*4=20 sistemas.. Basta resolvê-los. Mas deve haver maneira pra eliminar parte dessas solucoes... daqui a pouco alguem dá uma luz.. Em 31/01/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ache todas as solucoes inteiras de y^2=x^2-432. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
RE: [obm-l] Cubo Perfeito
reorganizando a equacao temos que x^2 - y^2 = 432= (x - y)(x + y) = 2*2*2*2*3*3*3 agora o problema se transforma em encontrar, com base nos fatores primos de 432, todos as possibilidades para (x - y) e para (x +y), calculando assim x e y apos um simples sistema de equacoes. Ex.: (x-y) = 2*2*2 e (x+y) = 2*3*3*3 == x=31 e y= 23 Isso eh uma solucao porque 529 = 961 - 432 (23^2 = 31^2 - 432) Eu acho que no final das contas vai dar um certo trabalo para analizar todas as possibilidades mas nao devem ter tantas assim no final das contas. No entanto deve ser possivel excluir de cara algumas possibilidades que nao terao resultados inteiros. Ex.: a soma de (x-y) e (x+y) eh 2x, um numero par. Logo, tempos que escolher (x-y) e (x+y) de maneira que ambos sejam pares ou ambos impares. Como existem fatores de 2 envolvids, a ultima nao eh possivel. assim eliminamos as possibilidades onde (x+y) ou (x-y) sao iguais a 1, 3, 9 e 27. Agora so falta descobrir se tem alguma coisa com um cubo perfeito no meio que eu nao achei e que facilitaria a minha vida no problema ou se eu so tou viajando mesmo... From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Cubo Perfeito Date: Tue, 31 Jan 2006 22:57:34 + (GMT) Ache todas as solucoes inteiras de y^2=x^2-432. - Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cubo Perfeito
reorganizando a equacao temos que x^2 - y^2 = 432= (x - y)(x + y) = 2*2*2*2*3*3*3 agora o problema se transforma em encontrar, com base nos fatores primos de 432, todos as possibilidades para (x - y) e para (x +y), calculando assim x e y apos um simples sistema de equacoes. Ex.: (x-y) = 2*2*2 e (x+y) = 2*3*3*3 == x=31 e y= 23 Isso eh uma solucao porque 529 = 961 - 432 (23^2 = 31^2 - 432) Eu acho que no final das contas vai dar um certo trabalo para analizar todas as possibilidades mas nao devem ter tantas assim no final das contas. No entanto deve ser possivel excluir de cara algumas possibilidades que nao terao resultados inteiros. Ex.: a soma de (x-y) e (x+y) eh 2x, um numero par. Logo, tempos que escolher (x-y) e (x+y) de maneira que ambos sejam pares ou ambos impares. Como existem fatores de 2 envolvids, a ultima nao eh possivel. assim eliminamos as possibilidades onde (x+y) ou (x-y) sao iguais a 1, 3, 9 e 27. Agora so falta descobrir se tem alguma coisa com um cubo perfeito no meio que eu nao achei e que facilitaria a minha vida no problema ou se eu so tou viajando mesmo... From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Cubo Perfeito Date: Tue, 31 Jan 2006 22:57:34 + (GMT) Ache todas as solucoes inteiras de y^2=x^2-432. - Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
