[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em demonstração
A demonstração está correta. A expressão vale para todo x0. O autor não se limitou ao caso x=1, ele apenas fez x = 1 para determinar a constante. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Henrique Branco Sent: Tuesday, February 25, 2003 11:15 PM To: OBM Subject: [obm-l] Dúvida em demonstração Hi all! Discutindo com um amigo meu sobrea demonstração das propriedades do logaritmo natural, encontrada no Calculo com Geometria Analítica, do Swokowsky, ele argumentou que amesma seria falha. Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir. Propriedade: Se p 0 e q 0 log(p*q) = log(p) + log(q) Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p 0). Então, um teorema garante que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1)= 0, temos: log(p) = log(1) + C = C = log(p) (2) Substituindo (2) em (1), temos: log(p*x) = log(x) + log(p) Como q 0 está no domínio do log, podemos tomar x =q e a prova está concluída: log(p*q) = log(p) + log(q) Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = 1. Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x 0, então não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma propriedade de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi,em Um Curso de Cálculo, também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e tomando x = a). Julguem e comentem... Quem está com a razão? Grato, Henrique Patrício Sant'Anna Branco.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em demonstração
On Wed, Feb 26, 2003 at 04:15:10AM -0300, Henrique Branco wrote: Discutindo com um amigo meu sobre a demonstração das propriedades do logaritmo natural, encontrada no Calculo com Geometria Analítica, do Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir. Propriedade: Se p 0 e q 0 log(p*q) = log(p) + log(q) Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p 0). Então, um teorema garante que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1) = 0, temos: log(p) = log(1) + C = C = log(p) (2) Substituindo (2) em (1), temos: log(p*x) = log(x) + log(p) Como q 0 está no domínio do log, podemos tomar x = q e a prova está concluída: log(p*q) = log(p) + log(q) A demonstração está correta. Os prerequisitos são: Se f(x) = log x então f'(x) = 1/x o que pode ser tomado como definição de log (alguns livros fazem isso) e Se f: (0,+infty) - R é derivável em todo ponto do domínio com f'(x) = 0 (para todo x no domínio) então f é constante. Este deve ser o 'um teorema' de que você fala. É comum em cursos de cálculo apresentar isso como conseqüência do Teorema do Valor Médio (o que é correto) mas a maioria dos alunos e alguns professores perdem o sequenciamento lógico dos resultados, aprende que f' = 0 implica f constante mas não sabe mais pq e fica achando o TVM uma tecnicalidade. Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = 1. Não entendi o pensamento do seu amigo. Demonstramos que existe uma constante C tal que log(px) = log x + C para todo x e não é muito difícil achar C. Talvez o fato importante seja que C pode depender de p mas não depende de x. Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x 0, então não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma propriedade de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em Um Curso de Cálculo, também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e tomando x = a). Isto não é um teorema, é o próprio conceito de 'para todo'. Se vale para todo x, vale para x=1. Também vale para x=2 e x=3. Se não valesse para x=1 não valeria para todo x. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Dúvida em demonstração
Hi all! Discutindo com um amigo meu sobrea demonstração das propriedades do logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria Analítica", do Swokowsky, ele argumentou que amesma seria falha. Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir. Propriedade: Se p 0 e q 0 log(p*q) = log(p) + log(q) Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de 1/x (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p 0). Então, um teorema garante que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui começa a discussão), o autor faz x = 1. Como log(1)= 0, temos: log(p) = log(1) + C = C = log(p) (2) Substituindo (2) em (1), temos: log(p*x) = log(x) + log(p) Como q 0 está no domínio do log, podemos tomar x =q e a prova está concluída: log(p*q) = log(p) + log(q) Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = 1. Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x 0, então não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma "propriedade" de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi,em "Um Curso de Cálculo", também usou desse artifício, considerando uma função definida em [a,b] e tomando x = a). Julguem e comentem... Quem está com a razão? Grato, Henrique Patrício Sant'Anna Branco.
