[obm-l] Divisibilidade(congruência)
Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + n é múltiplo de 8 Artur Costa Steiner Em 10/07/2013, às 22:17, marcone augusto araújo borges escreveu: > Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. > Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. > > Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9 [ ]'s De: marcone augusto araújo borges Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17 Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência) Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
Desculpem, desconsiderem ; confundí 24 com 14 (deve ser o sono às duas da madruga...) Boa noite A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9 [ ]'s De: marcone augusto araújo borges Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17 Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência) Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
2013/7/11 Artur Costa Steiner > O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é > também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto > seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, > o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + > n é múltiplo de 8 > > m poderia ser 3 e n ser 5. 3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8) -- []'s Lucas -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
2013/7/11 Eduardo Wilner > > A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9 3*9 = 27, mais um, 28. Não vejo problema. > De: marcone augusto araújo borges > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" > Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17 > Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência) > > Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. > Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. > > Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. Vou mostrar a parte "divisível por 3", você faz a "por 8": como 3 divide mn + 1, temos que nem m nem n são divisíveis por 3, logo valem 1 ou 2 módulo 3. Mas note que se m*n = -1 mod 3, então não pode ocorrer m=n mod 3 (porque então m*n seria 1 mod 3). Assim, m = 1, n = 2, ou o contrário. Logo, m+n = 1+2 = 0 mod 3. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
De: Lucas Prado Melo Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 6:43 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência) 2013/7/11 Artur Costa Steiner O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + n é múltiplo de 8 > >>m poderia ser 3 e n ser 5. >3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8) CUIDADO: nem 3*5+1=16, nem 3+5=8 é divisível por 24 Aliás, a propriedade vale par qualquer divisor, desde que seja menor que pelo menos um entre m e n . -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
2013/7/11 Eduardo Wilner : > > De: Lucas Prado Melo > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 6:43 > Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência) > > > 2013/7/11 Artur Costa Steiner > > > > > O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é > > > também > > > múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja > > > possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o > > > outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + > > > n > > > é múltiplo de 8 > > >m poderia ser 3 e n ser 5. > >3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8) > > CUIDADO: nem 3*5+1=16, nem 3+5=8 é divisível por 24 Não, mas o princípio é analisar módulo cada uma das potências de primos que dividem 24, e o Artur e o Lucas completaram a solução com a parte "mod 8". > Aliás, a propriedade vale par qualquer divisor, desde que seja menor que > pelo menos um entre m e n . Que propriedade? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
