Re: [obm-l] Equacao polinomial
Com respeito à lista, e para que se evitem comentários infelizes como este, a resposta ao Márcio foi enviada em PVT. Minhas desculpas por qualquer incômodo acerca das dúvidas geradas pelo assunto. Obrigado aos que tiveram a *paciência* de explicar ao responder. Cordialmente, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Marcio Afonso A. Cohen [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 08, 2004 3:01 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Prezado Rafael, Estou com a nitida impressao de que voce nao esta entendendo quase nada do que esta sendo discutido.. O Claudio esta totalmente correto, inclusive quando comenta seu erro. O problema é que a sua equacao não NECESSARIAMENTE precisa ser um binomio do tipo (x-a)^n. O enunciado não diz que as raizes sao distintas, mas tambem não GARANTE que elas sejam todas iguais. Leia com calma os emails anteriores para ver a solucao correta desse (classico) problema. Mais importante que isso, tente entender pq a sua solucao esta incorreta baseado nesses argumentos. Abracos, Marcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Olá Rafael. O fato de nada se dizer sobre a multiplicidade da raiz significa que ela NÂO é prezumível, ou seja, você não pode assumir que a multiplicidade seja 10. Também não é nada claro( até porque é falso ) que apenas o coeficiente -10 determine os demais. Quanto às médias, ó que posso dizer é que chamou-me a atenção o fato de ter sido nos dado o produto e a soma das raízes, no mais usei o que se chama de experiência matemática... Um abraço, frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 15:47:39 -0200 Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200 Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Oi, Rafael: A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais interessante nesse problema eh exatemente a justificativa... Um abraco, Claudio. on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Cláudio, Embora você diga ser inválida a minha justificativa, não diz o porquê. Suponho que você conheça a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a partir de raízes reais e positivas, que os sinais dos coeficientes alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro é 1, o segundo é 10 e o último é 1, não é difícil concluir que as condições anteriormente expostas são satisfeitas por (x-1)^10. Tão somente depois disso pôde-se discutir a multiplicidade. A menos que algo *prove* que só existe uma justificativa, não vejo por que mais de uma justificativa não possa estar correta. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Oi, Rafael: A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais interessante nesse problema eh exatemente a justificativa... Um abraco, Claudio. on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG = MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las. Em uma mensagem de 7/2/2004 15:58:49 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for "convincente", gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "Frederico Reis Marques de Brito" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico.
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Creio que, em vez de x=0, você quis dizer x=1, não? Sobre as médias, obrigado pelo esclarecimento. Vou rever o TFA, pois não me lembrava. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 4:59 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG = MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las.
Re: [obm-l] Equacao polinomial
O curioso é que, revendo o TFA,as médias não decorrem dele, nem fazem parte dele, nem nada. Mas é um artifício interessante para se provar que todas as raízes são iguais a 1, visto que MA acaba por se igual aMG. - Original Message - From: Rafael To: OBM-L Sent: Saturday, February 07, 2004 5:17 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Creio que, em vez de x=0, você quis dizer x=1, não? Sobre as médias, obrigado pelo esclarecimento. Vou rever o TFA, pois não me lembrava. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 4:59 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG = MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las.
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Rafael: Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a aplicacao da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do uso da desigualdade MG = MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer. Um abraco, Claudio. on 07.02.04 15:30, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, Embora você diga ser inválida a minha justificativa, não diz o porquê. Suponho que você conheça a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a partir de raízes reais e positivas, que os sinais dos coeficientes alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro é 1, o segundo é 10 e o último é 1, não é difícil concluir que as condições anteriormente expostas são satisfeitas por (x-1)^10. Tão somente depois disso pôde-se discutir a multiplicidade. A menos que algo *prove* que só existe uma justificativa, não vejo por que mais de uma justificativa não possa estar correta. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Oi, Rafael: A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais interessante nesse problema eh exatemente a justificativa... Um abraco, Claudio. on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Agora compreendo o que você quis dizer, Cláudio. Na verdade, como escrevi anteriormente, pensei que o fato de o coeficiente de x^9 ser -10 não permitisse outra possibilidade para todos os outros, quaisquer que fossem os desenvolvimentos de um binômio, estando, assim, provada a unicidade da solução e, por conseguinte, a sua multiplicidade. Em símbolos, a equação inicial poderia ser reescrita em F(x) = (x-r)^m*Q(x), sendo r uma raiz real positiva de multiplicidade m. Com os três coeficientes fornecidos, não há outra possibilidade a não ser F(x)=(x-1)^10 ao meu ver. No entanto, concordo que a demonstração feita pelo Frederico é bastante interessante e própria para o caso. Abraços, Rafae de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Rafael: Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a aplicacao da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do uso da desigualdade MG = MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
on 07.02.04 15:47, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Isso nao eh verdade. Existe uma infinidade de polinomios monicos de grau 10 com raizes reais positivas e tais que o coeficiente de x^9 eh -10. O que garante que o polinomio eh realmente (x-1)^10 eh o fato de o termo independente ser 1 (dado que as raizes sao reais e positivas). Isso foi mostrado pelo Frederico mediante o uso da desigualdade MG = MA. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Ora! MG = raiz decima do produto e MA = soma dividida por 10. Assim, para se calcular a MG e MA das raizes, basta saber a soma e o produto delas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Sim, Cláudio. Quanto às médias, já foi comentado. Mas o seu recorte do meu texto foi incompleto. Em e-mail anterior, já havia sido citada a mesma observação, tendo por base os três coeficientes iniciais. O fato é que, no triângulo de Pascal-Tartaglia, todos os coeficientes binomiais que iniciam ou terminam uma linha são 1. Isto é, 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ... Quando disse que conhecendo-se o coeficiente -10 não haveria outra possibilidade, a não ser (x-1)^10, parecia-me imediato os anteriores cujo valor é 1 estarem considerados. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 6:56 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial on 07.02.04 15:47, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Isso nao eh verdade. Existe uma infinidade de polinomios monicos de grau 10 com raizes reais positivas e tais que o coeficiente de x^9 eh -10. O que garante que o polinomio eh realmente (x-1)^10 eh o fato de o termo independente ser 1 (dado que as raizes sao reais e positivas). Isso foi mostrado pelo Frederico mediante o uso da desigualdade MG = MA. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Ora! MG = raiz decima do produto e MA = soma dividida por 10. Assim, para se calcular a MG e MA das raizes, basta saber a soma e o produto delas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equacao polinomial
Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
