[obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
Boa noite pessoal, Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... Alguma ajuda? Obrigado...
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: > Boa noite pessoal, > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 > + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... > Alguma ajuda? log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log n. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
Tem razão, agora essa função também é limite inferior?Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED] > escreveu:On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote:> Boa noite pessoal, >> Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1> + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo...> Alguma ajuda?log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log n. []s,--Fábio Dias Moreira=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Denisson"Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer: É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível aos olhos!" (Saint Exupèrry)
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote: > Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: > > > Boa noite pessoal, > > > > > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma > > > log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... > > > Alguma ajuda? > > > > log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log > > n. > > Tem razão, agora essa função também é limite inferior? Mais ou menos... Não é muito difícil ver que log k + log (n-k) > (log n) / 2 para todo n >= 3 e 0 < k < n. Logo log 1 + log 2 + ... + log n > (n * log n) / 4 para todo n suficientemente grande. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote: > Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: > > > Boa noite pessoal, > > > > > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma > > > log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... > > > Alguma ajuda? > > > > log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log > > n. > > Tem razão, agora essa função também é limite inferior? Mais ou menos... Não é muito difícil ver que log k + log (n-k) > (log n) / 2 para todo n >= 3 e 0 < k < n. Logo log 1 + log 2 + ... + log n > (n * log n) / 4 para todo n suficientemente grande. []s, > []s, > > -- > Fábio Dias Moreira > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > -- > Denisson > > "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer: > É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível > aos olhos!" (Saint Exupèrry) -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
Bom dia , para todos da lista. Fabinho de onde vc tirou essa de logk + log(n - k) > (logn)/2 ? Que bruxaria é essa?Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote:> Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:> > On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote:> > > Boa noite pessoal, > > >> > > Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma> > > log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo...> > > Alguma ajuda?> >> > log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n = n * log> > n. > > Tem razão, agora essa função também é limite inferior?Mais ou menos... Não é muito difícil ver quelog k + log (n-k) > (log n) / 2para todo n >= 3 e 0 < k < n. Logolog 1 + log 2 + ... + log n > (n * log n) / 4para todo n suficientemente grande.[]s,> []s,> > --> Fábio Dias Moreira> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista> em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> => > > > -- > Denisson> > "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer: > É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível> aos olhos!" (Saint Exupèrry)-- Fábio Dias Moreira=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
Bom, pra quem usa Stirling (essa é a deduç~ao de uma parte da fórmula!)
A soma é log(n!) = Soma{i=2 até n} log(i) ~ Integral{x=1 até n} log(x)
dx (estritamente menor) ~ Integral{x=2 até n+1} log(x)dx
A primeira integral é n log(n) - n + 1, a segunda é (n+1)(log(n+1) -
1) - 2log(2) + 2 = (n+1)log(n+1) - n + 1 - log(4); a diferença é
log(n+1) - log(4) + n log(1+1/n) que é da ordem de log(n+1) (lembre
que n log(1+1/n) tende ao log do limite de (1 + 1/n)^n = log(e) = 1).
Assim, teremos log(n!) ~ n log(n) - n com um erro da ordem de
log(n+1), que é absorvido pela constante da "ordem" subentendida pelo
sinal "~".
Melhores aproximaç~oes para a soma (por integrais "melhores") dao a
fórmula com mais precisao.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 11/6/05, Denisson <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Boa noite pessoal,
>
> Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 +
> log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo...
> Alguma ajuda?
> Obrigado...
>
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
