on 22.10.03 09:49, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi pessoal, gostaria de uma ajuda na resolução deste
limite:
lim (( 1+raiz n-esima de x)/2)^n , quando n tende a
infinito.
obrigado ,
Um abraço,
Amurpe
Oi, Amurpe:
Legal esse!
Claro que x tem que ser = 0.
Algumas exploracoes numericas sugerem que o limite eh igual a raiz(x), o que
eh obvio pra x = 1.
Pra provar isso no caso geral, acho que uma ideia seria estabelecer uma cota
inferior e uma cota superior para a sequencia e provar que ambas convergem
pra raiz(x).
Por exemplo, a desigualdade MG = MA implica que:
raiz(1*x^(1/n)) = (1 + x^(1/n))/2 ==
raiz(x)^(1/n) = (1 + x^(1/n))/2 ==
raiz(x) = ((1 + x^(1/n))/2)^n
Agora, falta achar uma cota superior.
(1 + x^(1/n))/2 = 1 + (x^(1/n) - 1)/2.
Tomando logaritmos naturais e usando a desigualdade ln(1 + a) a, para a
0, teremos:
ln((1 + x^(1/n))/2) = ln(1 + (x^(1/n) - 1)/2) (x^(1/n) - 1)/2 ==
n*ln((1 + x^(1/n))/2) n*(x^(1/n) - 1)/2 ==
((1 + x^(1/n))/2)^n e^(n*(x^(1/n) - 1)/2) = raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1))
Mas n*(x^(1/n) - 1) -- ln(x) quando n -- +infinito.
(se nao me engano, esse foi um resultado que voce mesmo mandou pra lista ha
algum tempo).
Logo, raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1)) -- raiz(x) quando n -- +infinito.
Assim, as cotas inferior e superior da sequencia tem como limite raiz(x).
Isso implica que o limite da sequencia tambem eh raiz(x).
Um abraco,
Claudio.
raiz(x) = (1 + raiz(x)^(1/n) - 1)^n =
1 + n*(raiz(x)^(1/n) - 1)) n*(raiz(x)^(1/n) - 1)
(1 + x^(1/n))/2 = (1/2)*raiz(x)^(1/n)*(raiz(x)^(1/n) + 1/raiz(x)^(1/n))
1 1 - x^(2/n) = (1 - x^(1/n))*(1 + x^(1/n)) ==
1 - x^(1/n) 1/(1 + x^(1/n))
1 + x^(1/n) = (1 + raiz(x)^(1/n))^2 - 2*raiz(x)^(1/n)
(1 + raiz(x)^(1/n))^2 ==
A desigualdade MA = MQ (media quadratica) implica que:
(1 + raiz(x)^(1/n))/2 raiz((1 + x^(1/n))/2) ==
(1 + raiz(x)^(1/n))^2 4*(1 + x^(1/n))/2 = 2*(1 + x^(1/n))
Como temos uma expressao elevada a n-esima potencia, acho que a desigualdade
de Bernoulli deve entrar em algum lugar.
Vou pensar um pouco e se achar uma demonstracao mando pra lista.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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