Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(alguem viu a do Luciano GM?)
At 13:59 01/11/02 -0300, you wrote: Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal. Oi, pessoal, Eu mostrei minha solução na segunda-feira passada, em nossa já tradicional aula de preparação no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se não me engano: Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira. Como o Nicolau já disse, minha solução é bem complicada. Eu espero comentá-la na semana Olímpica. É difícil escrever a solução em formato e-mail. Vou dar os passos principais: 1) Dualizamos tudo (por razões psicológicas). Temos então duas cônicas não degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos de tangência pertencem a uma cônica. 2) Considere os 4 pontos de tangência de uma das cônicas. Utilizando muitas vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do quadrilátero formado por esses 4 pontos está determinado pelas 4 retas tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD é formado pelos pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC). 3) Agora basta provar que se dois quadriláteros possuem o mesmo triângulo diagonal, seus 8 vértices pertencem a uma cônica. Para isso, consideramos a cônica determinada por um quadrilátero e um vértice do outro quadrilátero e usamos a definição projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma cônica nos pontos A e B, e corta a polar de P em relação a essa conica no ponto Q, então P e Q dividem harmonicamente o segmento AB. Há muitos detalhes a completar, mas espero que vocês consigam fazê-lo. Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades necessárias estão todas lá. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(alguem viu a do Luciano GM?)
Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal. "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: On Wed, Oct 30, 2002 at 04:07:25PM -0200, Marcio wrote:> O que exatamente significa uma transformacao projetiva? Na prova eu> cheguei a escrever que era possivel, via uma transformacao linear,> considerar o problema "mais simples" no qual uma das elipses eh um circulo..> Mas nao sabia que era possivel reduzir ao caso em que os eixos da elipse que> sobra eram paralelos aos eixos x,y (e pelo jeito, concentrica com o> circulo).. Tem alguma referencia legal onde eu possa saber mais sobre> transformacoes desse tipo? Esse parece ser um assunto interessante para a> proxima semana olimpica...Identifique o plano xy com o plano z=1 em R^3. Considere uma transformaçãolinear (ou matriz) 3x3 A qq que leva (x,y,1) em (u,v,w). Bem, o ponto (u,v,w)em geral não está no nosso plano mas podemos projetá-lo lá radialmentemultiplicando por 1/w: assim a imagem de (x,y,1) será (u/w,v/w,1).Eliminando a terceira coordenada, uma transformação projetiva é(x,y) |-> ((a11 x + a12 y + a13)/(a31 x + a32 y + a33),(a21 x + a22 y + a23)/(a31 x + a32 y + a33))com det A diferente de zero. Estas transformações levam cônicas em cônicas.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
