At 13:59 01/11/02 -0300, you wrote:
Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal.Oi, pessoal,
Eu mostrei minha solução na segunda-feira passada, em nossa já tradicional aula de preparação no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se não me engano: Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira.
Como o Nicolau já disse, minha solução é bem complicada. Eu espero comentá-la na semana Olímpica.
É difícil escrever a solução em formato e-mail. Vou dar os passos principais:
1) Dualizamos tudo (por razões psicológicas). Temos então duas cônicas não degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos de tangência pertencem a uma cônica.
2) Considere os 4 pontos de tangência de uma das cônicas. Utilizando muitas vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do quadrilátero formado por esses 4 pontos está determinado pelas 4 retas tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD é formado pelos pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC).
3) Agora basta provar que se dois quadriláteros possuem o mesmo triângulo diagonal, seus 8 vértices pertencem a uma cônica. Para isso, consideramos a cônica determinada por um quadrilátero e um vértice do outro quadrilátero e usamos a definição projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma cônica nos pontos A e B, e corta a polar de P em relação a essa conica no ponto Q, então P e Q dividem harmonicamente o segmento AB.
Há muitos detalhes a completar, mas espero que vocês consigam fazê-lo. Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades necessárias estão todas lá.
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