Re: [obm-l] Outra de Triangulo
É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Caro Italo, o enunciado nao estabelece que K,L e M sejam os pontos medios dos lados, ou que ML seja paralelo a AB. Sabemos apenas que AK=BL=CM , e que KLM e' equilatero. Esse problema e' menos trivial do que parece...:-) Grande abraco, Rogerio Ponce PS: Fernando, acho que fui eu quem repassou esse problema para a lista, e , na epoca, pensei que ninguem se interessara. Tambem perdi horas de sono com ele, e em breve enviarei uma solucao. Mas antes vamos esperar que o pessoal se divirta um pouquinho com ele, ok? its matematico <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Os ângulos de KLM medem 60°. Note que os triângulos AKM, CLM e BKL são todos congruentes pois têm lados respectivamente congruentes.Assim, comparando os triângulos BKL e AKM, por exemplo, vemos que o ângulo BKL é congruente ao ângulo AMK (opostos a lados congruentes) e o ângulo BLK é congruente ao ângulo AKM. A soma dos ângulos BKL+AKM +LKM = 180. Como LKM=60° (dado do problema), vem: BKL+AKM = 120. Mas, como deduzimos logo acima, o ângulo AKM é congruente a BLK, portanto podemos escrever:BKL+BLK = 120. Esses dois ângulos, BKL e BLK, são ângulos internos do triângulo BKL, logo, pela Lei Angular de Thales, o terceiro ângulo KBL = 60°. Mas como o ângulo KBL é congruente ao ângulo KAM e também ao ângulo LCM (ângulos correspondentes), então o triângulo ABC é equiângulo e portanto equilátero Palmerim Em 31/08/06, its matematico <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico <[EMAIL PROTECTED] > escreveu: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
ML//AB NÃO É necessariamente verdadeiro. A solução pode ser feita por congruência de triângulos. Palmerim Em 31/08/06, its matematico <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Ola' Palmerim, de onde voce tirou que os triangulos sao congruentes? O problema so' indica a igualdade de 2 lados entre os triangulos. De onde veio que MA=LC=KB? Alias, se fosse dado que MA=LC=KB, e como o enunciado diz que CM=BL=AK, entao voce ja' teria , de cara, que CM+MA = BL+LC = AK+KB , e o problema ja' estaria resolvido, sem precisar falar em todos aqueles angulos... Abracos, Rogerio Ponce Palmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Os ângulos de KLM medem 60°. Note que os triângulos AKM, CLM e BKL são todos congruentes pois têm lados respectivamente congruentes.Assim, comparando os triângulos BKL e AKM, por exemplo, vemos que o ângulo BKL é congruente ao ângulo AMK (opostos a lados congruentes) e o ângulo BLK é congruente ao ângulo AKM. A soma dos ângulos BKL+AKM +LKM = 180. Como LKM=60° (dado do problema), vem: BKL+AKM = 120. Mas, como deduzimos logo acima, o ângulo AKM é congruente a BLK, portanto podemos escrever:BKL+BLK = 120. Esses dois ângulos, BKL e BLK, são ângulos internos do triângulo BKL, logo, pela Lei Angular de Thales, o terceiro ângulo KBL = 60°. Mas como o ângulo KBL é congruente ao ângulo KAM e também ao ângulo LCM (ângulos correspondentes), então o triângulo ABC é equiângulo e portanto equilátero Palmerim Em 31/08/06, its matematico <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico <[EMAIL PROTECTED] > escreveu:É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Oi, gente, Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e... Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-) Abraços, Nehab At 14:58 31/8/2006, you wrote: Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Oi Nehab, muito bom que voce tenha sido "mordido" pelo problema...mas nao faco ideia de como resolve-lo usando complexos! Em vez disso, minha solucao e' bem "mequetrefe", e so' usa material do 4o ginasial...:-) (hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do 3o cientifico, talvez) Grande abraco, Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, gente, Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e... Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-) Abraços, Nehab At 14:58 31/8/2006, you wrote: Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
OOOPS! Que feio!! Desculpem. Se fosse fácil assim era mole, tenho muito que aprender ainda... Cadê a reta mágica? Cadê os grandes mestres Nehab e Buffara? Palmerim Em 31/08/06, Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola' Palmerim,de onde voce tirou que os triangulos sao congruentes?O problema so' indica a igualdade de 2 lados entre os triangulos.De onde veio que MA=LC=KB?Alias, se fosse dado que MA=LC=KB, e como o enunciado diz que CM=BL=AK, entao voce ja' teria , de cara, que CM+MA = BL+LC = AK+KB , e o problema ja' estaria resolvido, sem precisar falar em todos aqueles angulos... Abracos,Rogerio PoncePalmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Os ângulos de KLM medem 60°. Note que os triângulos AKM, CLM e BKL são todos congruentes pois têm lados respectivamente congruentes.Assim, comparando os triângulos BKL e AKM, por exemplo, vemos que o ângulo BKL é congruente ao ângulo AMK (opostos a lados congruentes) e o ângulo BLK é congruente ao ângulo AKM. A soma dos ângulos BKL+AKM +LKM = 180. Como LKM=60° (dado do problema), vem: BKL+AKM = 120. Mas, como deduzimos logo acima, o ângulo AKM é congruente a BLK, portanto podemos escrever:BKL+BLK = 120. Esses dois ângulos, BKL e BLK, são ângulos internos do triângulo BKL, logo, pela Lei Angular de Thales, o terceiro ângulo KBL = 60°. Mas como o ângulo KBL é congruente ao ângulo KAM e também ao ângulo LCM (ângulos correspondentes), então o triângulo ABC é equiângulo e portanto equilátero Palmerim Em 31/08/06, its matematico <[EMAIL PROTECTED] > escreveu: agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico <[EMAIL PROTECTED] > escreveu: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Lá tá o cara maltratando o velho, Mas deixa estar. Ele vai ver só a solução por rotação e pelo menos por uma semana (espero) parará de me maltratar... E ainda tripudia... 4o ginasial ! Rapaz, muita gente por aqui nem sabe o que é isto! Ora bolas, ginasial ! Se atualiza, "homem de meia idade" ! É o que dá aluno ingrato !!! Nehab At 17:38 31/8/2006, you wrote: Oi Nehab, muito bom que voce tenha sido "mordido" pelo problema...mas nao faco ideia de como resolve-lo usando complexos! Em vez disso, minha solucao e' bem "mequetrefe", e so' usa material do 4o ginasial...:-) (hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do 3o cientifico, talvez) Grande abraco, Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, gente, Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e... Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-) Abraços, Nehab At 14:58 31/8/2006, you wrote: Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Oi, gente (e especialmente o Ponce), Você vai gostar da solução que eu encontrei pois nem precisei dos números complexos, só da rotação e um "tiquinho" de geometria. Mas você vai ter que completar os "blanks"... gostou? Amanhã ou depois eu posto a solução completa à noite (viu só o que dá cutucar coroas com vara curta :-) ?). Ai vai (sugiro usar lápis de cor, com pelo menos três cores :-) - em homenagem ao ginásio). Considere o tal do triângulo ABC, o triângulo equilátero K, L e M e seu centro O (do equilátero). Gire a figura no sentido trigonométrico, por exemplo, de 60 graus em torno de O e chamemos as imagens da rotação de A', B', C', K', L', e M', respectivamente. Naturalmente que K' é L; L' é M e M' é K. Note que AK = A'K' (além disso as retas suporte destes segmentos naturalmente fazem 60 graus). Então K'B = K'A'. Logo, A'K'= BK' (porque?). Chega. Não vou dar mais colher de chá "procê" não. Você é muito esperto. Agora uma digressão. Dois dos meus professores nas priscas eras do vestiba foi o Virgílio de Athaide Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida, com quem aprendi satsfatoriamente e decentemente (mas há 43 anos) Geometria Plana, Desenho Geométrico e Geometria Descritiva (alem de Perspectiva). Sem nenhuma compulsão saudosista, lamento que a modernidade burra tenha literalmente eliminado estas disciplinas da grade escolar usual. Isto talvez explique porque a maioria dos problemas com elegantes soluções geométricas sejam em geral abordados por Geometria Analítica, Trigonometria, etc, pela maioria de nós. Não desenvolvemos mais a forma natural de pensar geométrica (e eu, caramba, já a tenho bem enferrujada). Mas tenho saudades do tempo em que a gente matava problemas com homotetias, reflexões, rotações, simetrias, inversões, etc e quando as tais das linhas mágicas que adoramos não eram tão mágicas assim (antes que algum ofendido se manifeste, não estou falando de exceções). Hoje, a garotada rala para encontar espaços onde possa desenvolver tais conceitos e habilidades. Por isto eu tento despertar este "modo de pensar" em meus alunos, quando posso. Finalizando: para a gente perceber que estas habilidades estão em outro registo do cérebro. Dois de meus filhos fizeram engenharia (fora euzinho) e um, medicina. Pois curiosamene, o médico possui mais visão espacial que nós três juntos. Jamais conseguimos ganhá-lo num maldito joguinho do tipo Tetrix Tridimensional. O miserável era (e é) imbatível. Vivendo e aprendendo... Abração e boa diversão Nehab At 17:38 31/8/2006, you wrote: Oi Nehab, muito bom que voce tenha sido "mordido" pelo problema...mas nao faco ideia de como resolve-lo usando complexos! Em vez disso, minha solucao e' bem "mequetrefe", e so' usa material do 4o ginasial...:-) (hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do 3o cientifico, talvez) Grande abraco, Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, gente, Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e... Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-) Abraços, Nehab At 14:58 31/8/2006, you wrote: Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
Olá, sem perda de generalidade, vamos colocar o ponto A na origem do sistema, e o lado AB no eixo X. assim, temos: A = (0, 0) B = (b, 0) C = c * (cos(t), sen(t)) temos que mostrar que b = c e que t = 60. agora, vamos determinar esse pontos.. K = (k, 0) = k/b * B M = C - (k/c) * C = (1 - k/c) * C agora, L já é mais dificil de determinar... sabemos que: L - B = k * (C - B) / || C - B || logo: L = B + k * (C - B) / || C - B || apenas para escrever junto, temos: K = k/b * B = (k, 0) M = (1 - k/c) * C = (c - k) * (cos(t), sen(t)) L = B + k * (C - B) / || C - B || agora, sabemos que || M - K || = || K - L || = || M - L || M - K = (c - k) * C / c - k * B / b = [(c-k)cos(t) - k, (c-k)sen(t)] || M - K ||^2 = (c-k)^2 - 2k(c-k)cos(t) + k^2 K - L = k * B / b - B - k * (C - B) / || C - B || = (k - b) * B / b - k * (C - B) / || C - B || K - L = (k-b, 0) - k * [c * cos(t) - b, c * sen(t)] / || C - B || notamos que || C - B || = a = c^2 + b^2 - 2bc * cos(t), que é o comprimento do lado BC... assim: K - L = (k - b, 0) - k * [ c * cos(t) - b, c * sen(t)] / a = ( k - b - k * c * cos(t) / a, - k * c * sen(t) / a ) bom, desejo muita sorte a quem for continuar as contas hehehe... po... desanimei! to pensando em um jeito mais facil.. como ja ta escrito até aqui.. estou enviando.. as vezes pode ajudar alguem... abraços Salhab fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/434 - Release Date: 30/8/2006
Re: [obm-l] Outra de Triangulo
E então gente? Eu também tentei esse caminho do Marcelo e ficou cada vez pior. O caminho do Carlos Nehab também tentei, mas não consegui passar de 2 triângulos grudados em cada um dos 3 lados do triângulo equilátero. Tô achando tudo muito complicado. Alguém tem mais alguma sugestão? Por favor, uma solução qualquer serve! Obrigado! -- Início da mensagem original --- Assunto: Re: [obm-l] Outra de Triangulo > Olá, > > sem perda de generalidade, vamos colocar o ponto A na origem do sistema, e o > lado AB no eixo X. > assim, temos: > > A = (0, 0) > B = (b, 0) > C = c * (cos(t), sen(t)) > > temos que mostrar que b = c e que t = 60. > > agora, vamos determinar esse pontos.. > > K = (k, 0) = k/b * B > M = C - (k/c) * C = (1 - k/c) * C > > agora, L já é mais dificil de determinar... sabemos que: > > L - B = k * (C - B) / || C - B || > > logo: L = B + k * (C - B) / || C - B || > > apenas para escrever junto, temos: > > K = k/b * B = (k, 0) > M = (1 - k/c) * C = (c - k) * (cos(t), sen(t)) > L = B + k * (C - B) / || C - B || > > agora, sabemos que || M - K || = || K - L || = || M - L || > > M - K = (c - k) * C / c - k * B / b = [(c-k)cos(t) - k, (c-k)sen(t)] > || M - K ||^2 = (c-k)^2 - 2k(c-k)cos(t) + k^2 > > K - L = k * B / b - B - k * (C - B) / || C - B || = (k - b) * B / b - k * (C > - B) / || C - B || > K - L = (k-b, 0) - k * [c * cos(t) - b, c * sen(t)] / || C - B || > > notamos que || C - B || = a = c^2 + b^2 - 2bc * cos(t), que é o comprimento > do lado BC... assim: > K - L = (k - b, 0) - k * [ c * cos(t) - b, c * sen(t)] / a = ( k - b - k * c > * cos(t) / a, - k * c * sen(t) / a ) > > bom, desejo muita sorte a quem for continuar as contas hehehe... > po... desanimei! to pensando em um jeito mais facil.. > > como ja ta escrito até aqui.. estou enviando.. as vezes pode ajudar alguem... > > abraços > Salhab > > > > > > > fernandobarcel escreveu: > Oi, > ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não > consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é > que se resolve este pesadelo? > > Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e > CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. > Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. > Prove que o triângulo ABC é equilátero. > > Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outra de Triangulo a Divida ainda permanece
Oi, gente, Frustrei a mim e, como consequência, à galera que tá pedindo, com razão, a tal solução trivial. Como também ainda está em aberto o tal do produtório de senos (a menos que eu tenha perdido algum email). Vou ficar devendo e olha que perdi um tempo (MUITO TEMPO MESMO !) com estes exercícios. A propósito, não entendi a solução do Santa Rita !!! Abraços, Nehab PS: Minha ultima tentativa foi usando o seguinte lema (que adoro): ABC é equilatero sss A+Bj +Cj^2 =0 , onde j é cis120 (interprete A, B e C como complexos no plano complexo - a princípio não importa onde é a origem). Usando que K divide AB proporcionalmente a x e c-x; L divide BC proporcionalmente a x e a-x e M divide CA proporcionalmente a x e b-x, vem: K = Bx/c + (c-x)A/x; L = Cx/a + (a-x)B/a e M = Ax/b + (b-x)C/b Usando o lema, vem: K + Lj + Mj^2 = 0 sss (substitua as expressões para K, L e M e simplifique) A + Bj + Cj^2 + x.[ (B-A)/c + (C-B)j/a + (A-C)j^2/b ] = 0 que seria legal se a expressão entre colchetes fosse trivialmente igual a zero (mas para mim, infelizmente não é). Dai não consigo evitar uma trigonometria nojenta usando lei dos senos nas "parcelas". Empaquei (pela 10 vez). At 15:49 31/8/2006, you wrote: Oi, gente, Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e... Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-) Abraços, Nehab At 14:58 31/8/2006, you wrote: Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
