[obm-l] polígono regular - 13 lados

[Vitório Batista Lima da Silva]

3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um triângulo. 
Quantos desses triângulos contém o centro do círculo circunscrito ao polígono?

A resposta é 36???

At.te,

Vitório

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

[Daniel Jelin]

Pra mim deu 91 também: C(13,3) - 13*C(6,2).
Acho que dá pra generalizar para polígonos regulares de 2n+1 lados: serão
C(2n+1,3) - (2n+1)*C(n,2) triângulos, que significa o total de triângulos
menos aqueles cujos vértices estão todos de uma mesma 'banda' do polígono.
abs,
Daniel


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On Thu, Jun 18, 2020 at 11:48 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
> vértices de P1, P2, ..., P13.
>
> Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar
> triângulos... Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma
> vez? P1P2P6 conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são
> **distintos**, mas neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria
> um múltiplo de 13, pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13
> rotações também, que seriam distintas).
>
> ---///---
>
> Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
> único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
> anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
> AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
> qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
> determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
> BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
> tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
> x+y+z=13.
>
> Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele
> seja acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema
> combinatório:
>
> "Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
> 1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
> Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
> "Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5
> satisfazendo 0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
> Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
> a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
> e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
> não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
> Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
> {a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
> Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
> {x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}
>
> ---///---
>
> Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
> cada vértice importa... Bom, basta notar que:
> a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos
> (tome um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
> b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
> ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
> pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
> dos números).
> (Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
> repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
> digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
> contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
> permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
> 3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
> Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
> 91? Errei algo?
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
>
> On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
> vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:
>
>> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
>> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
>> circunscrito ao polígono?
>>
>> A resposta é 36???
>>
>> At.te,
>>
>> Vitório
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

[Ralph Costa Teixeira]

Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
vértices de P1, P2, ..., P13.

Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar triângulos...
Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma vez? P1P2P6
conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são **distintos**, mas
neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria um múltiplo de 13,
pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13 rotações também, que
seriam distintas).

---///---

Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
x+y+z=13.

Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele seja
acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema combinatório:

"Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
"Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5 satisfazendo
0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
{a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
{x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}

---///---

Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
cada vértice importa... Bom, basta notar que:
a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos (tome
um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
dos números).
(Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
91? Errei algo?

Abraço, Ralph.




On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:

> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
> circunscrito ao polígono?
>
> A resposta é 36???
>
> At.te,
>
> Vitório
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Polígono e triângulos

[marcone augusto araújo borges]

Essa questão tem a ver com paridade?

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Polígono e triângulos
Date: Sun, 20 Apr 2014 21:01:32 +




É possível dividir um polígono convexo de 17 lados em 14 triângulos?
  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono e triângulos

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Não é possível. Cada vértice do heptadecágono é também um vértice de um ou mais 
triângulos. Além disso, juntando os ângulos da triangulação que estão num 
vértice particular, obtemos sempre a medida de um ângulo interno do polígono. 
Podemos considerar todos os vértices, a soma será a dos ângulos internos. Não 
consideramos, no entanto, todos os ângulos, já que podem haver vértices no 
interior do heptadecágono. Concluímos que a soma dos ângulos da triangulação é 
no mínimo a soma dos ângulos internos, ou seja 15*180 graus. Se fossem 14 
triângulos, a soma seria 14*180; contradição.

-Mensagem Original-
De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
Enviada em: ‎21/‎04/‎2014 20:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono e triângulos

Acredito que nao!!
leia isso http://www.maths.usyd.edu.au/u/kooc/catalan/cat15tri.pdf



Em 20 de abril de 2014 18:01, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

É possível dividir um polígono convexo de 17 lados em 14 triângulos? 

-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 



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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Polígono e triângulos

[Douglas Oliveira de Lima]

Acredito que nao!!
leia isso http://www.maths.usyd.edu.au/u/kooc/catalan/cat15tri.pdf


Em 20 de abril de 2014 18:01, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 É possível dividir um polígono convexo de 17 lados em 14 triângulos?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Polígono e triângulos

[marcone augusto araújo borges]

É possível dividir um polígono convexo de 17 lados em 14 triângulos?
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono regular inscrito

[Martins Rama]

Obrigado...muito boa!!!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Polígono regular inscrito

[Eduardo Wilner]

Os fantásticos números complxos resolvem.

Vejamos, como ilustração, o triângulo ( e um pouco do quadrado) que vc. 
resolveu geométricamente

Sejaz = e^(ib)  , 0 =b2pi,  representando os pontos da circunferência com 
centro na origem do plano complexo(Argand-Gauss) .

As raizes de terceira ordem de 1, i.e., da equação z^3=1, representam os 
vértices do triângulo inscrito:

 e^(i3b) =1   = 3b=j.2.pi = b=j.2.pi/3 , j= {0,1 ,2}; assim, os vértices do 
triângulo localizam-se em   


z_0=1, no semi-eixo real positivo, (seja o vértice V_0) , z_1=e^(i2.pi/3)  e  
z_2=e^(i4.pi/3) .

Poderiamos também partir da equação  z^3 - 1 =0 (I)  , e sabendo que uma 
solução é z=z_0=1, dividi-la por z - 1 obtendo, z^2 + z + 1=0 , que reproduz as 
mesmas raizes acima, z_1 e z_2  (z_2 apareceria como e^(-i2.pi/3)=e^(i4.pi/3) ).

Para as cordas, sem perda de generalidade, escolhemos o vértice V_0 como o 
comum à elas e definimos como w = z  - z_0 =z -1 as cordas vetoriais. Fazendo 
a mudança de variável na equação (I), 
   (w+1)^3  - 1 =0  = w^3 + 3w^2 + 3w  = 0 , que dividida por w=w_0= 0 (a 
corda V_0V_0, que gracinha...) resultando em w^2 +3w + 3 =0 cujas raizes são as 
de z subtraidas de 1. Mas , no caso, o que importa é que o termo indepente 
fornece o produto das raizes, 3. ( observe  que parao comprimento das cordas 
teriamos que trocar w por  |w| mas como, no produto há compensação de sinais, 
não é necessário.    


 Para o quadrado mantendo z=z_0=1 e dividindo a equação z^4 - 1= 0 (II)por z-1, 
obtemos a equação
z^3+z^2+z+1=0 , cujas raizesrepresentam os outros 3 vértices (os dois do eixo 
imaginário e o do semi=eixo real positivo. Fazendo a mudança de variável, z = w 
+ 1 em (II),
  (w+1)^4 - 1 =0  = w^4 + 4w^3+6w^2+4w=0, que dividida por w fornece  


   w^3+4w^2+6w+4 = 0, termo independente , produto das raizes, 4.

Genéricamente, para o polígono de n lados, a equação z^n - 1 = 0 (III), em 
termos de w,

(w+1)^n  - 1 = w^n + n w^(n-1) + ...+ (n , j) w^(n-j) +...n=0 , onde (n , j) 
são os coeficientes binomiais, mostra que o termo independente , produto das 
raizes, é n.

[ ]'s  


    




 De: Martins Rama martin...@pop.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 3:53
Assunto: [obm-l] Polígono regular inscrito
 

Caros amigos da lista...
A afirmação abaixo é verdadeira? Como prová-la? Indução, talvez?

Para um polígono regular convexo de n vértices V1, V2, ...,Vn, inscrito
num círculo de raio unitário, qual o valor do produto das medidas das
(n-1) cordas traçadas de um vértice, por exemplo, V1?

P = V1V2 x V1V3 x ... x V1Vn = ?

Sei que para o:
- triângulo equilátero, temos: (raiz de 3)x(raiz de 3) = 3
- quadrado, temos: (raiz de 2)x(raiz de 2)x2 = 4
- hexágono regular, temos: 1x(raiz de 3)x2x(raiz de 3)x1 = 6

É possível generalizar a solução e encontrar a resposta n para todos os
polígonos regulares?

Abraços,
Martins Rama.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Polígono regular inscrito

[Martins Rama]

Caros amigos da lista...
A afirmação abaixo é verdadeira? Como prová-la? Indução, talvez?

Para um polígono regular convexo de n vértices V1, V2, ...,Vn, inscrito
num círculo de raio unitário, qual o valor do produto das medidas das
(n-1) cordas traçadas de um vértice, por exemplo, V1?

P = V1V2 x V1V3 x ... x V1Vn = ?

Sei que para o:
- triângulo equilátero, temos: (raiz de 3)x(raiz de 3) = 3
- quadrado, temos: (raiz de 2)x(raiz de 2)x2 = 4
- hexágono regular, temos: 1x(raiz de 3)x2x(raiz de 3)x1 = 6

É possível generalizar a solução e encontrar a resposta n para todos os
polígonos regulares?

Abraços,
Martins Rama.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Polígono regular inscrito

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/5/1 Martins Rama martin...@pop.com.br:
 Caros amigos da lista...
 A afirmação abaixo é verdadeira? Como prová-la? Indução, talvez?

 Para um polígono regular convexo de n vértices V1, V2, ...,Vn, inscrito
 num círculo de raio unitário, qual o valor do produto das medidas das
 (n-1) cordas traçadas de um vértice, por exemplo, V1?

 P = V1V2 x V1V3 x ... x V1Vn = ?

 Sei que para o:
 - triângulo equilátero, temos: (raiz de 3)x(raiz de 3) = 3
 - quadrado, temos: (raiz de 2)x(raiz de 2)x2 = 4
 - hexágono regular, temos: 1x(raiz de 3)x2x(raiz de 3)x1 = 6

 É possível generalizar a solução e encontrar a resposta n para todos os
 polígonos regulares?

Isso é verdade. Eu não conheço nenhuma demonstração por indução, mesmo
porquê veja que os pontos do polígono regular de (n+1) lados não tem
nada a ver com os de n lados (ou praticamente nada a ver). Eu sei uma
com raízes da unidade, e que faz aparecer o produto das cordas numa
relação de Girard.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono convexo e ângulos internos

[Paulo Argolo]

Caro Ralph ( e demais colegas )

Gostaria de me referir somente aos polígonos planos simples.
Nesse caso, o teorema é válido?
Abraços.
Paulo
___

Date: Sun, 20 May 2012 21:59:30 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono convexo e ângulos internos
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Isto eh falso. Pegue, por exemplo, um icosagono estrelado (ligando os pontos 
de 3 em 3). Abraco,   Ralph

2012/5/20 Paulo  Argolo pauloarg...@bol.com.br

Caros Colegas,



Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é convexo, formulo 
nova questão:



— Mostrar que um polígono é convexo se, e somente se, qualquer de seus ângulos 
internos mede menos de 180 graus.



Defino:  Um polígono ( = região poligonal) é convexo se, e somente se, qualquer 
segmento de reta com extremidades pertencentes ao polígono está contido no 
polígono.



Abraços do Paulo.



=

Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=


  

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono convexo e ângulos internos

[Ralph Teixeira]

Neste caso, acho que é verdade sim. Não sei se dá para formalizar como a
seguir, mas tentemos...

Suponha por contradição que todos os ângulos do seu polígono são menores
que 180 graus, mas ele não é convexo. Você pode perfeitamente supor que não
há ângulos de 180 graus (se houver, elimine os vértices onde isto acontece,
e junte os lados correspondentes num só).

Então você pode achar um segmento de reta com vértices dentro do polígono
mas que não está completamente contido no polígono. Este segmento pode ser
subdividido em pedaços pelos lados do polígono -- pelo menos um dos pedaços
estará completamente do lado de fora (exceto pelos seus vértices, que
estarão nos lados do polígono).

Então seja AB um tal segmento (todo do lado de fora, exceto pelos vértices
A e B sobre os lados do seu polígono original). Há dois polígonos formados
pelos lados do polígono original (interrompidos pelos pontos A e B), mais
este segmento, sendo que um deles terá como ângulos internos os
REPLEMENTARES do polígono original (exceto em A e B, cujos ângulos me são
completamente desconhecidos). Seja P este último polígono, digamos que ele
tenha N lados.

Bom, este polígono será simples (os lados do polígono original não se
intersectavam, e este segmento AB não intersecta o polígono original exceto
nos vértices A e B). Seus ângulos são todos maiores que 180 graus (bom, N-2
de seus ângulos, pois não sabemos nada sobre os ângulos em A e B), então a
soma dos seus ângulos será maior que 180(N-2). Mas a soma dos ângulos
internos de um polígono simples é 180(N-2), absurdo!

Reconheço que esta ideia aí em cima não está muito formal ainda -- teríamos
que estabelecer melhor:
i) A existência do segmento AB (tenho certeza que é possível, mas ele é
chato de definir formalmente, até porque o segmento original não contido no
polígono original poderia ter pedaços inteiros de alguns lados);
ii) A existência do tal polígono P (eu vejo perfeitamente que um dos dois
polígonos criados por A e B tem como ângulos os replementares do original,
mas isto deveria ser formalizado usando alguma espécie de orientação do
polígono original).

Abraço,
   Ralph

2012/5/21 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com


 Caro Ralph ( e demais colegas )

 Gostaria de me referir somente aos polígonos planos simples.
 Nesse caso, o teorema é válido?
 Abraços.
 Paulo
 ___

 Date: Sun, 20 May 2012 21:59:30 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Polígono convexo e ângulos internos
 From: ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Isto eh falso. Pegue, por exemplo, um icosagono estrelado (ligando os
 pontos de 3 em 3). Abraco,   Ralph

 2012/5/20 Paulo  Argolo pauloarg...@bol.com.br

 Caros Colegas,



 Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é convexo,
 formulo nova questão:



 — Mostrar que um polígono é convexo se, e somente se, qualquer de seus
 ângulos internos mede menos de 180 graus.



 Defino:  Um polígono ( = região poligonal) é convexo se, e somente se,
 qualquer segmento de reta com extremidades pertencentes ao polígono está
 contido no polígono.



 Abraços do Paulo.



 =

 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 =




 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Polígono convexo e ângulos internos

[Paulo Argolo]

Caros Colegas,

Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é convexo, formulo 
nova questão:

— Mostrar que um polígono é convexo se, e somente se, qualquer de seus ângulos 
internos mede menos de 180 graus.

Defino:  Um polígono ( = região poligonal) é convexo se, e somente se, qualquer 
segmento de reta com extremidades pertencentes ao polígono está contido no 
polígono.

Abraços do Paulo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Polígono convexo e ângulos internos

[Ralph Teixeira]

Isto eh falso. Pegue, por exemplo, um icosagono estrelado (ligando os
pontos de 3 em 3).

Abraco,
   Ralph

2012/5/20 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br

 Caros Colegas,

 Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é convexo,
 formulo nova questão:

 — Mostrar que um polígono é convexo se, e somente se, qualquer de seus
 ângulos internos mede menos de 180 graus.

 Defino:  Um polígono ( = região poligonal) é convexo se, e somente se,
 qualquer segmento de reta com extremidades pertencentes ao polígono está
 contido no polígono.

 Abraços do Paulo.

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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] POLÍGONO

[Rafael Ando]

ops, n=30, eh a solucao invalida...

2008/6/13 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]:

 Seja n o numero de lados do poligono. Entao os angulos valem 139, 141, ...,
 137+2n (em graus)

 Usando a formula da soma dos termos de uma PA, temos que a soma dos angulos
 vale 138n + n^2. Mas sabemos tambem que a soma dos angulos internos de um
 poligono convexo vale 180(n-2). Chegamos entao a equacao:

 n^2 - 42n + 360 = 0, cujas solucoes sao n = 60 ou n = 12, entao o numero de
 lados eh par.

 Apenas como observacao, vale notar que n=60 nao eh uma resposta valida,
 pois os angulos nao podem ter mais de 180º...

 2008/6/12 arkon [EMAIL PROTECTED]:

  *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR*

 **

 *O menor ângulo de um polígono convexo mede 139º. Sabendo que seus
 ângulos estão em PA de razão 2º então este polígono possui número de lados
 par?*




 --
 Rafael




-- 
Rafael

Re: [obm-l] POLÍGONO

[Rafael Ando]

Seja n o numero de lados do poligono. Entao os angulos valem 139, 141, ...,
137+2n (em graus)

Usando a formula da soma dos termos de uma PA, temos que a soma dos angulos
vale 138n + n^2. Mas sabemos tambem que a soma dos angulos internos de um
poligono convexo vale 180(n-2). Chegamos entao a equacao:

n^2 - 42n + 360 = 0, cujas solucoes sao n = 60 ou n = 12, entao o numero de
lados eh par.

Apenas como observacao, vale notar que n=60 nao eh uma resposta valida, pois
os angulos nao podem ter mais de 180º...

2008/6/12 arkon [EMAIL PROTECTED]:

  *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR*

 **

 *O menor ângulo de um polígono convexo mede 139º. Sabendo que seus ângulos
 estão em PA de razão 2º então este polígono possui número de lados par?*




-- 
Rafael

[obm-l] POLÍGONO

[arkon]

ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR

O menor ângulo de um polígono convexo mede 139º. Sabendo que seus ângulos estão 
em PA de razão 2º então este polígono possui número de lados par?

[obm-l] Polígono Convexo no Plano Complexo

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Igor:

Achei uma solução razoavelmente intuitiva para este problema:

 Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that
 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that
 if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the
 complex plane by the vertices of a convex n-gon then the
 number Z is represented by a point lying inside that n-
 gon.

A idéia é supor que Z não é interior ao polígono e tentar chegar a uma
contradição.

Suponha que Z não seja interior ao polígono. Então, de duas uma:
1. Z é externo ao polígono;
ou
2. Z pertence alguma aresta do polígono (mas não é um dos vértices, uma vez
que, nesse caso Z = Ck, para algum k e, 1/(Z-Ck) não estaria definido).

Como o polígono é convexo, no caso (1) será possível achar uma reta que
contenha Z mas que não intercepte o polígono (em outras palavras, o polígono
estará inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta).
Tome esta reta.
No caso (2), tome a reta suporte da aresta que contém Z. Nesse caso, o
restante do polígono (excetuando-se a tal aresta)estará inteiramente contido
num dos semi-planos determinados pela reta.

Em seguida, efetue uma translação dos eixos coordenados de forma que Z passe
a coincidir coma origem do plano complexo. As novas coordenadas dos vértices
serão:
Dk = Ck - Z   k =1, ..., n

Uma vez feita a translação, efetue uma rotação dos eixos em torno da origem,
de modo que o polígono (ou no caso da reta conter uma aresta, do restante do
polígono) fique inteiramente contido no semi-plano real positivo
(quadrabntes 1 e 4). Se a rotação foi de um ângulo theta, as novas
coordenadas dos vértices serão:
Ek = Dk*exp(i*Theta)  k = 1, ..., n .

Agora, observe que SOMA 1/(Z-Ck) = 0 se e somente se SOMA 1/Ek = 0.

Os Ek's tem todos parte real positiva (se o eixo imaginário contiver uma
aresta, então dois deles terão parte real = 0, mas isso não afeta a análise
que se segue). Portanto, 1/Ek também terá parte real positiva.

Mas, nesse caso, SOMA 1/Ek terá parte real positiva == Contradição

Logo, Z tem de ser interior ao polígono.

Um abraço,
Claudio.



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