RES: RES: [obm-l] Problema com polinômios
Eh, tem toda a razao, pode haver outras raizes. Obrigado pela correcao. Mas creio que dah para aproveitar o raciocinio anterior. Temos que Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x). O polinomio (x -a)(x - b)(x -c)(x - d) eh monico e tem coeficientes inteiros. Como Q tem tambem coeficientes inteiros e eh monico, o algoritmo da divisao de polinomios implica que T seja monico e tenha coeficiente inteiros. Se p(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e 3 = (k -a)(k - b)(k -c)(k - d) T(k) Como T(k) eh inteiro, vemos que 3 eh dado por um produto de 5 inteiros, dos quais 4 sao distintos 2 a 2. Isto implica que 3 tenha pelo menos 4 divisores, contrariando o fato de que 3 eh primo. Agora estah certo, nao estah? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Nehab Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 19:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema com polinômios Oi, Arthur, Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria identicamente igual a 1... Confesso que dei uma tentada por ai mas empaquei, pois não achei contra exemplo nem tampouco provei que T(k) seria inteiro... Onde será que estou voando? Abração, Nehab Artur Costa Steiner escreveu: Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8. Accho que estah certo. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema com polinômios
Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema com polinômios
Olá Salhab, Não entendi muito bem... As congruências que você usou saem do teorema das raizes racionais certo? Mas por que elas valem para os outros coeficientes? E esse método não vai acabar num coeficiente diferente de 1 para x^n? abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 14, 2008 9:22 AM Subject: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema com polinômios
Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8. Accho que estah certo. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Problema com polinômios
Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
