Re: [obm-l] Problema legal! (Corrigindo o enunciado)

[charles]

Para diferenciar os pedaços de uma mesma face, vamos chamá-los de 1,2 e 3.

Sejam Sx,y a área da intersecção do pedaço x da primeira face com o pedaço y
da segunda face, SX a área do pedaço x da primeira face e S a área total da
face do papel. Queremos sigma(a1,a2,a3), uma permutação de {1,2,3} tal que
S1,a1+S2,a2+S3,a3 >=S/3. Porque basta pintar o pedaço a_i da segunda face
com a mesma cor de i, para i pertencente a {1,2,3}.

Temos :

S1,1 + S1,2 + S1,3 = S1
S2,1 + S2,2 + S2,3 = S2
S3,1 + S3,2 + S3,3 = S3

Então :

(S1,1 + S2,2 + S3,3) + (S1,2 + S2,3 + S3,1) + (S1,3 + S2,1 + S3,2) =
S1+S2+S3 = S, portanto uma das parcelas é >= S/3 como queríamos.

[obm-l] Problema legal! (Corrigindo o enunciado)

[Benedito Tadeu V. Freire]

PROBLEMA

Cada uma das faces de uma folha de papel é dividida em três regiões limitadas 
por polígonos. Numa delas, uma das regiões limitada por um polígono é de cor 
branca, outra vermelha, e a terceirana outra verde.

Prove que, na outra face, é possível pintar uma das regiões polígonais de 
branco, outra de  vermelho, e a terceira de verde, de tal maneira que pelo 
menos um terço da área da folha de papel é colorido com a mesma cor em ambas as 
faces.