Para a questão 1, um caminho é observar os possíveis algarismos das unidades do
quadrado de um número inteiro qualquer (0, 1, 4, 5, 6 ou 9), de um múltiplo de
5
(0 ou 5) e de um múltiplo de 11, previamente multiplicados por um quadrado
(idem
aos 6 primeiros). Enfim, basta analisar as possibilidades dos algarismos finais
de 5x^2+11y^2 pra concluir que nenhum pode ser 3 (de 876543).
Para a 2, um caminho (não tão simples, mas educativo) é o seguinte: pode-se
garantir que o resto deve assumir a forma r(x) = ax + b, com a e b reais. Logo,
pelo algoritmo da divisão: p(x) = q(x)*Q(x) + r(x), para todo x (até mesmo
complexo), em que Q(x) é o quociente da divisão. Logo: 2x^2010-5x^2-13x+7 =
(x^2+x+1)*Q(x) + ax+b, qualquer que seja o x. A ideia é sumir com o Q(x),
desconhecido e desinteressante, aqui, fazendo x assumir valores convenientes
(as
raízes de q(x)). Porém, como se sabe, tais valores não são reais. Sejam m e n
os
mesmos (distintos). Então, m^2+m+1 = n^2+n+1 = 0. Multiplicando respectivamente
por m - 1 e n - 1, conclui-se que: (m - 1)*(m^2+m+1) = (n - 1)*(n^2+n+1) = 0,
ou
seja, m^3 - 1 = n^3 - 1 = 0. Observe-se que m^3 = 1 => (m^3)^670 = m^2010 = 1 e
que m^2 = - m - 1, bem como para n. Logo, fazendo respectivamente x = m e x = n
no algoritmo da divisão, vem que: (2m^2010-5m^2-13m+7 = 2*1-5(-m-1)-13m+7 = 14
-
8m)
14 - 8m = am + b e 14 - 8n = an + b. Subtraindo, conclui-se que a = - 8
(NOTANDO
QUE m É DISTINTO DE n). Substituindo, que b = 14. Logo, r(x) = - 8x + 14, do
que: r(2) = - 2.
Outro caminho, menos laborioso, é fazer "no braço" a divisão pelo método da
chave.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.
De: Luiz Paulo
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sexta-feira, 13 de Agosto de 2010 10:10:04
Assunto: [obm-l] Questões do colégio naval 2010
Bom dia colegas da lista, por esses dias ocorreu o concurso de admissão ao
colégio naval. Alguns alunos me trouxeram a prova para dar uma olhada e duas
questões me chamaram a atenção em especial e gostaria da ajuda de vocês.
Questão 1
Estudando o quadrado dos números naturais um aluno, um aluno conseguiu
determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação
5x^2+11y^2=876543.
Qual foi o número de soluções que esse aluno obteve?
Questão 2
Sejam p(x)=2x^2010-5x^2-13x+7 e q(x)=x^2+x+1. Tomando r(x) como sendo o resto
da
divisão de p(x) por q(x), o valor de r(2) será?
Resolvendo por números complexos fica fácil, só dá trabalho, é só fatorar q(x)
em produto de dois fatores de 1º grau, só que essas raízes são complexas e
preferencialmente escritas na forma trigonométrica para poder usar a fórmula
de
moivre quando for substituir em p(x) para obter os coeficientes de r(x) que
será
da forma r(x)=ax+b...
Entretanto, essa prova é para alunos que nem entraram no ensino médio e por
isso
não conhecem Moivre! Por isso, gostaria de saber se vocês têm uma solução mais
simples para essa questão.
Muito obrigado, Luiz.
