[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria d os Números

[Artur Steiner]

Na realidade, o conjunto A = {(x,y) em R^2 : x > 0, y > 0, x e y irracionais e 
x^y racional} nao eh enumeravel.

 

Para cada transcende x > 0 fixo, a função f(t) = x^t, t > 0, eh continua e seu 
conjunto imagem eh (1, oo), se x > 1, ou (0, 1), se 0 < x < 1. Fixemos um 
racional r em, digamos, (1, oo), supondo x > 1. Pelo teorema do valor 
intermediario, existe um t para o qual f(t) = x^t = r. Assim, t = log r (base 
x), com x > 1. Como esta função logaritmica é estritamente decrescente, para 
diferentes valores de x obtemos diferentes valores de t. Verificamos também que 
cada um destes números t eh irracional, pois transcendente elevado a racional 
não nulo é sempre transcendente. Um raciocínio similar vale se x for um 
trannscendente em (0, 1). 

Como todo transcendente é irracional, existe, desta forma, uma bijecao entre um 
subconjunto de B de A e o conjunto dos trannscendentes positivos. Como este 
último não é enumerável, segue-se que B - e, portanto, A - não são enumeráveis.

Vemos, também, que em cada (x,y ) de A, x é transcendente. Se x fosse 
algebrico, o teorema de Gelfond/Scheneider implicaria que x^y, contrariamente 
aa hipotese, fosse irracional.

 

Artur

 


 


Date: Sun, 5 Apr 2009 02:57:26 -0300
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da 
Teoria dos Números

Oi, Bouskela, 

Este é outro Ponce  O que você imaginou é MUTO, mas MUITO mais velho mesmo. 
 Quase tanto quanto eu ...  Hahaha.

Abraços,
Nehab

Albert Bouskela escreveu: 






Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!
 
Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que não 
se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles existem.
 
É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...
 
Albert Bouskela
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com
 



From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf 
Of Gabriel Ponce
Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
 

Tome x=y=sqrt(2). 

Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é 
irracional. 

Neste caso,

 

z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 

 

que é racional, e o problema está resolvido.

 

^^

2009/4/4 Albert Bouskela 





Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que  
x^y  é RACIONAL.

Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.

 

Saudações,

AB

bousk...@gmail.com

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[*Vidal]

Caro Bouskela,

Não se martirize ! Somos todos ignorantes, não no sentido pejorativo da
palavra, mas na acepção de ignorarmos, desconhecermos os milhares, talvez
milhões, de teoremas, conjecturas, problemas abertos e resultados já
existentes, afora os que estão sendo gerados neste exato momento em todo o
mundo, e os que ainda estão por vir até o fim dos nossos dias.

E se, nesta ocasião derradeira, os terroristas suicidas islâmicos são
agraciados com setenta virgens cada, talvez para nós esteja reservada como
prêmio a onisciência matemática, a fim de nos livrar de todo este martírio
terreno.

Em tempo, o Gelfond e o Schneider só fizeram a parte fácil do sétimo
problema de Hilbert, o caso de b (expoente) irracional e algébrico. Ficou
faltando a melhor parte, quando b é irracional, mas não algébrico.

Quem sabe um dia a gente não marca um chope, num destes bares com toalha de
papel na mesa, e termina o trabalho que eles deixaram inacabado?

:)

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela 

>  Olá Vidal,
>
>
>
> Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer
> esse Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir
> vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert.
>
>
>
> Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância.
>
>
>
> *AB*
>
> bousk...@gmail.com
>
> bousk...@ymail.com
>
>
>
> *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
> Behalf Of **Vidal
> *Sent:* Sunday, April 05, 2009 2:36 AM
> *To:* OBM
> *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema
> clássico da Teoria dos Números
>
>
>
> Caro Bouskela,
>
> Mas 2^sqrt(2) "parece" e é "bem" irracional !
>
> Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente
> de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e
> portanto, irracional).
>
> Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma
> independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como "Teorema de
> Gelfond" (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na
> Matemática).
>
> Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi =
> (-1)^(-i).
>
> Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três
> famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900.
>
> Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico.
>
> Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de "parecer"
> sê-lo).
>
> Abraços,
> Vidal.
>
> :: vi...@mail.com
>
> ***
>
> 2009/4/5 Albert Bouskela 
>
> Olá!
>
>
>
> Hummm... acho que não...
>
>
>
> 2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
> Entretanto, é preciso demonstrá-lo.
>
>
>
> A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
> pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
> demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.
>
>
>
> Sds.,
>
> *AB*
>
> bousk...@gmail.com
>
> bousk...@ymail.com
>
>
>
> *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
> Behalf Of **Vidal
> *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
> *To:* OBM
>
>
> *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
>
>
>
> Caro Bouskela,
>
>
>
> x = 2^sqrt(2)
> y = sqrt(2)
>
> x^y = 4
>
> Bom final de semana !
>
> Abraços,
> Vidal.
>
> :: vi...@mail.com
>
>
>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Olá Vidal,

 

Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer esse
Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir
vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert.

 

Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância.

 

AB

 <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com

 <mailto:bousk...@ymail.com> bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Sunday, April 05, 2009 2:36 AM
To: OBM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da
Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,

Mas 2^sqrt(2) "parece" e é "bem" irracional !

Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente
de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e
portanto, irracional).

Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma
independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como "Teorema de
Gelfond" (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na
Matemática).

Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi =
(-1)^(-i).

Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três
famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900.

Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico.

Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de "parecer"
sê-lo).

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela 

Olá!

 

Hummm... acho que não...

 

2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
Entretanto, é preciso demonstrá-lo.

 

A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.

 

Sds.,

AB

bousk...@gmail.com

bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
To: OBM


Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,



x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

 

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Carlos Nehab]

Oi, Bouskela, 

Este é outro Ponce  O que você imaginou é MUTO, mas MUITO mais
velho mesmo.  Quase tanto quanto eu ...  Hahaha.

Abraços,
Nehab

Albert Bouskela escreveu:

  
  

  
  
  Pois
é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!
   
  Esta
é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que
não se
consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se
descobre que eles existem.
   
  É
claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...
   
  Albert
Bouskela
  bousk...@gmail.com
  bousk...@ymail.com
   
  
  
  
  From:
owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Gabriel
Ponce
  Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria
dos Números
  
  
   
  
  Tome x=y=sqrt(2). 
  
  
  Se x^y for irracional o problema está resolvido,
caso
contrário z=x^y é irracional. 
  
  
  Neste caso,
  
  
   
  
  
  z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 
  
  
   
  
  
  que é racional, e o problema está resolvido.
  
  
   
  
  
  ^^
  
  
  2009/4/4 Albert Bouskela <bousk...@ymail.com>
  

  


Mostre que existem pelo menos dois números
IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que  x^y  é RACIONAL.


Não se assustem: a solução é simples é
curta, mas requer criatividade.


 


Saudações,


AB


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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Olá!

 

Hummm... acho que não...

 

2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
Entretanto, é preciso demonstrá-lo.

 

A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.

 

Sds.,

AB

 <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com

 <mailto:bousk...@ymail.com> bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,

x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!

 

Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que
não se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles
existem.

 

É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...

 

Albert Bouskela

 <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com

 <mailto:bousk...@ymail.com> bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Gabriel Ponce
Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Tome x=y=sqrt(2). 

Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
irracional. 

Neste caso,

 

z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 

 

que é racional, e o problema está resolvido.

 

^^

2009/4/4 Albert Bouskela 


Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que
x^y  é RACIONAL.

Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.

 

Saudações,

AB

bousk...@gmail.com

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[obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Núm eros

[*Vidal]

Caro Bouskela,

x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teo ria dos Números

[Felipe Diniz]

e^(ln2) =  2 ^^

2009/4/4 Gabriel Ponce 

> Tome x=y=sqrt(2).
> Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
> irracional.
> Neste caso,
>
> z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2
>
> que é racional, e o problema está resolvido.
>
> ^^
>
> 2009/4/4 Albert Bouskela 
>
>Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, "x" e "y", tais
>> que  x^y  é RACIONAL.
>> Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.
>>
>> Saudações,
>> AB
>> bousk...@gmail.com
>> bousk...@ymail.com
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>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Núm eros

[Gabriel Ponce]

Tome x=y=sqrt(2).
Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
irracional.
Neste caso,

z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2

que é racional, e o problema está resolvido.

^^

2009/4/4 Albert Bouskela 

>   Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, "x" e "y", tais
> que  x^y  é RACIONAL.
> Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.
>
> Saudações,
> AB
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> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
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[obm-l] RE: [obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[Rogerio Ponce]

Olá Jorge e colegas da lista!
Consideremos gotas de água e vinho com o volume V. Portanto, temos 1/V gotas 
em cada vaso.

A cada gota de água que sai e cada gota de vinho que entra, a quantidade de 
água no vaso inferior é diminuída (multiplicada) pelo fator (1-V).

Portanto, ao final do escoamento do vinho, a quantidade de água remanescente 
será igual a
Agua= (1-V) ^ (1/V)  , ou seja,   Agua= e^[ln(1-V) / V ]

E por l´Hopital, quando V-> 0 , Agua ->1/e .
Abraços a todos,
Rogério.
--- from: jorgeluis -
Meus Amigos! Experimentem solucioná-lo sem usar equações diferenciais. Ok!

Um vaso contendo 1 litro de vinho está suspenso sobre outro de igual 
capacidade
cheio de água. Por um orifício no fundo de cada, o vinho escorre sobre o 
vaso
de água e a mistura se esvai na mesma velocidade. Quando o vaso de vinho
estiver vazio, qual é o volume de água no vaso inferior?
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re:[obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[kleinad]

Bem, eu acho que era pra dizer apenas que a temperatura não estava sendo
medida em Kelvin, mas em Celsius, e portanto um aumento de 1 para 2 graus
Celsius não é dobrar a temperatura, longe disso...

[]s,
Daniel

Osvaldo Mello Sponquiado ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>> No quadrinho "Born Loser" por Art Sansom, Brutus
>manifesta alegria por um
>> aumento de temperatura de 1° para 2°. Ao lhe
>perguntarem a razão, respondeu:
>> "Está agora duas vezes mais quente que hoje de
>manhâ" Por que Brutus errou mais
>> uma vez?
>
>Supondo que o calor fornecido seja sensível temos que
>Q= m.INT(c.dt)[int = integral definida de de t0
>até tf]
>
>Supondo que o sistema seja fechado temos que m=cte.
>logo a capacidade térmica do ar seria dada por C(c)=m.c
>(t)
>Sei, por hipótese, que na situação final o ar está
>duas vezes mais quente que na situação inicial o que
>equivale a dizer que C_final=2.C_inicial
>daí  temos que c_final=2c_inicial
>Mas a variação de c deve ser relativamente pequena
>(axo que só visualisando curvas empíricas) logo
>contradizemos o fato de que o aumento de temperatura
>de 1° para 2° pode ser justificado pela sensação
>termica (acho que foi isso que vc quis dizer com
>quente).
>
>
>Bom, faz mais de um ano e meio que não vejo Química,
>talvez o que eu disse esteja tudo errado,
>mais de qualquer forma valew !
>
>
>Até mais.
>
>
>
>
>
>>
>>
>> __
>> WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br.
>>
>===
>==
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
>usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>
>===
>==
>>
>
>Atenciosamente,
>
>Osvaldo Mello Sponquiado
>2º ano em Engenharia Elétrica
>UNESP - Ilha Solteira
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[Osvaldo Mello Sponquiado]

> No quadrinho "Born Loser" por Art Sansom, Brutus 
manifesta alegria por um
> aumento de temperatura de 1° para 2°. Ao lhe 
perguntarem a razão, respondeu:
> "Está agora duas vezes mais quente que hoje de 
manhâ" Por que Brutus errou mais
> uma vez?

Supondo que o calor fornecido seja sensível temos que
Q= m.INT(c.dt)[int = integral definida de de t0 
até tf]

Supondo que o sistema seja fechado temos que m=cte.
logo a capacidade térmica do ar seria dada por C(c)=m.c
(t)
Sei, por hipótese, que na situação final o ar está 
duas vezes mais quente que na situação inicial o que 
equivale a dizer que C_final=2.C_inicial
daí  temos que c_final=2c_inicial
Mas a variação de c deve ser relativamente pequena 
(axo que só visualisando curvas empíricas) logo 
contradizemos o fato de que o aumento de temperatura 
de 1° para 2° pode ser justificado pela sensação 
termica (acho que foi isso que vc quis dizer com 
quente).


Bom, faz mais de um ano e meio que não vejo Química, 
talvez o que eu disse esteja tudo errado, 
mais de qualquer forma valew !


Até mais.





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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
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Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
2º ano em Engenharia Elétrica 
UNESP - Ilha Solteira

 
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