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Joao Victor, estas questoes nao sao dificeis. Na 5a vc fez o mais dificil. Se f(x) = g(x) + C para todo real x e f(a) = g(a),entao f(a) = g(a) + C = f(a) = f(a) + C e aih morreu Neves, né? A 1a e uma simples aplicacao do T, valor medio ao intervalo [x,y]. Ajudando com a 4a que me pareceu a mais interessante (eu mandei a solucao de uma outra na mesma linha que eh ateh mais interessante): Para todo x0, temos que f ''(x) = (f '(x) - 4)/x A existencia de f'' implica na diferenciabilidade de f' e, portanto, na sua continuidade em R. Logo, para x0 f'' eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas (a do denominador eh a funcao identidade), sendo assim continua para todo x0. Por inflexao horizontal entendo um ponto a no qual f'(a) = f''(a) = 0. Se f''(a) =0, entao a equacao funcional dada implica que f'(a) = 4 0, de modo que as condicoes da inflexao horizontal nao sao satisfeitas. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Joáo Vitor Enviada em: sábado, 4 de junho de 2005 16:42 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo! Amigos da OBM, aí vão mais algumas questões de calculo: 1. Verifique que todo x, y pertencente a [a,b] teremos | lnx - lny | = | x-y |/a *dica: Usar Teorema do vaor médio! 2. O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno do ponto x = 0 é definido por Pn (f ;0) = f(0) + f '(0)*x (1/2!)*f ''(0)*x^2 + (1/3!)*f '''(0)*x^3 +...+(1/n!)*F^n (0)*x^n Determine o polinômio de taylor de ordem 5 das funções exponencial, seno, cosseno, em torno do ponto x =0 3. Use Derivação implícita para determinar as derivadas das funções arcsen: (-pi/2, pi/2) -R, arccos: (o,pi) -R e arctg: (-pi/2, pi/2) -R. 4. Seja f derivável até a segunda ordem em R e tal que, para todo x, tenhamos que x*f ''(x) + f '(x) = 4 *Mostre que f '' é contínua em todo x diferente de 0. *Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal. 5. Prove que se f ' (x) = g' (x) para todo x pertençente aos reais então tias funções diferempor uma contatante. Daí conclua que se as derivadas de duas funções são iguais e as funções coincidem em um ponto Xo então tais funções são iguais. *Obs: a primeira parte da 5ª questão eu conseguir fazer, mas a segunda não! Abraço a todos! João Vitor Goes Fortaleza - CE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Vou por ora colaborar com o primeiro problema: 1. Seja y = y(x) uma fanção derivável até a segunda ordem no intervalo aberto I tal que para todo x pertencente I f '' (x) + x f '(x) - [f(x)]^2 = 0 e f(x) direferente de 0 *Verifique que f '' é contínua em I *Prove que f não admite pontos de máximos local em I Para todo x de I, temos que f '' (x) = [f(x)]^2 - x f '(x) . A diferenciabilidade de f em I implica a sua continuidade, que, por sua vez, implica a continuidade de f^2. A existência de f'' em I implica que f' seja derivavel e, portanto, continua. Logo a funcao x - x*f'(x) eh continua em I. Temos, portanto, que, f'' eh dada pela diferenca de duas funcoes continuas, o que implica que ela propria seja continua em I. Se algum u de I for extremo local de f, entao, como I eh aberto e f derivavel, temos f'(u) = 0. Pela equacao funcional a que f satisfaz, temos entao que f''(u) = [f(u)]^2. Como f nunca se anula em I, segue-se que f''(u) 0, o que acarreta que u seja ponto de mínimo local. Logo, f nao admite máximos locais em I. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Ajudando com a primeira: Seja x pertencente a R. Para todo real h0, temos que [f(x+h) - f(x)]/h =[f(x)*f(h) - f(x)]/h = f(x)* [(f(h) - 1)/h] = f(x)* [(f(h) - f(0))/h]. Por hipótese, f eh derivavel em 0 e f'(0) = 1. Pela definicao de derivada, temos que lim (h= 0) [(f(h) - f(0))/h] = f'(0) = 1. Logo, lim (h = 0) [f(x+h) - f(x)]/h = f'(x) = f(x) * lim (h = 0) [f(h) - f(0)]/h = f(x) * f'(0) = f(x) * 1, de modo que f'(x) = f(x) para todo real x. Na (2), diferencie g e , na (3), aplique o teorema do valor medio do calculo diferencial ao intervalo [x, y]. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Joáo Vitor Enviada em: quarta-feira, 1 de junho de 2005 16:57 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo! Mais 3 questões de Cálculo 1: 1. Seja f : R- R uma função derivável satisfazendo a seguinte condição: f(a+b) = f(a) * f(b) para todo a, b pertençente aos reais Sabendo que f(0) = f '(0) = 1, mostre q f '(x) = f (x) para todo x perteçente aos reais 2. Seja f : R- R uma função derivável satisfazendo a seguinte condição: f '(x) = c f(x) para todo x pertencente aos reais Sendo c uma cte. Se g(x) = e^(-cx) * f(x) varifique g = K(cte) é contante e conclua que f(x) = k*e^(cx). 3. Verifique que para todo x, y pertençentes a [a,b] teremos |ln x - ln y| = |x-y|/a Um abraço a todos da lista! João Vitor Fortaleza- CE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
