[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior. 2011/3/3 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) = 4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá Então , nessa última perceba que k.(k!)= (k+1)!-k! aplique a soma de ambos os lados a soma no segundo termo é telescópica ( os termos vão se anulando) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Olá, Chamando a expressão de S, x² - (x+1)² = -2x - 1, com x = 2k+1, -4k - 3 se n é par, S= -4.(0+1+2+3+...+ (n-2)/2) - 3n/2 = -4.((n-2)/2) (n/2)/2 - n/2 = - (n-2)(n)/2 - 3n/2 = -(n)(n+1)/2 Se n é impar, n-1 é par, logo S= -(n-1.(n)/2 + n² = n.(n+1)/2 []s, João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)...+(-1^n(n-1)-(-1)^(n+1)n)((-1)^n(n-1)+(-1)^(n+1)n)= n par -(1+2+3+..+n)=-n(1+n)/2 n impar -(n-1)n/2+ [(-1)^(n+1)]n^2=-(n-1)n/2+n^2=(n/2)(n+1) logo sn=(-1)^(n+1)n(n+1)/2 2011/3/3 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de somatório
A soma dos m/2 primeiros pares ( de 2 à m) ou dos (m+1)/2 impares (de 1 à m) é dada por [m+2)(m+1)m]/6. Assim, seu somatório, para n par será [(n+1)n(n-1) - (n+2)(n+1)n]/6 = (n-1-n-2)n(n+1)/6 = -n(n+1)/2 (onde para os impares m=n-1), e para n impar [(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)]/6 = [(n+2-n+1)(n+1)n]/6 = n(n+1)/2 . [ ]'s
