Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais
fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito,
tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda
expressão seria n/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma
até 2n, repare que:
2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) = 4 (n) (n+1)(2n +1)/6 =
2(n)(n+1(2n+1)/3
[]'s
João
> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
> From: henrique.re...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
>
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
>
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
>
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
>
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
>
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
>
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
>
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
>
> --
> Henrique
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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