[obm-l] Re: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Distribuição binomial, probabilidade de resultado par

[Claudio Buffara]

Mas legal mesmo deve ser uma demonstração direta, com argumentos puramente
combinatórios, sem álgebra, de que a probabilidade desejada é  (1 +
(1-2p)^n)/2.
Não faço ideia de como obtê-la.

[]s,
Claudio.

2018-08-14 16:52 GMT-03:00 steinerar...@gmail.com :

> É isso aí.
>
> Aplicando o teorema do binômio a (1 + i)^n e a (1 - i)^n, i a unidade
> imaginária, também obtemos resultados interessantes
>
> Artur
>
> Enviado do Yahoo Mail no Android
> 
>
> Em sáb, 11 11e ago 11e 2018 às 20:04, Claudio Buffara<
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Em termos concretos, dados n lançamentos independentes de uma moeda cuja
> probabilidade de cara é p, você quer a probabilidade de obtermos um número
> par de caras.
>
> A probabilidade é:
> C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... ,
> certo?
>
> Ou tem uma fórmula bonitinha pra esta soma?
>
> Eu sei que se p = 1/2, então a probabilidade desejada também é 1/2, pois:
> C(n,0) + C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = 2^(n-1).
> Tem uma demonstração bijetiva disso e outra que usa o teorema do binômio
> com (1 - 1)^n = 0.
>
> Opa! Peraí que eu tive uma idéia...
>
> Sabemos que:
> C(n,0)*(1-p)^n + C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) +
> C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 1
>
> Agora, expandindo ((1-p) - p) = (1-2p)^n, obteremos:
> C(n,0)*(1-p)^n - C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) -
> C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = (1-2p)^n
>
> Somando as duas expressões e dividindo a soma por 2, obtemos a
> probabilidade desejada:
> C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... =
> (1 + (1-2p)^n)/2
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Distribuição binomial, probabilidade de resultado par

[steinerar...@gmail.com]

É isso aí. 
Aplicando o teorema do binômio a (1 + i)^n e a (1 - i)^n, i a unidade 
imaginária, também obtemos resultados interessantes
Artur
Enviado do Yahoo Mail no Android 
 
  Em sáb, 11 11e ago 11e 2018 às 20:04, Claudio 
Buffara escreveu:   Em termos 
concretos, dados n lançamentos independentes de uma moeda cuja probabilidade de 
cara é p, você quer a probabilidade de obtermos um número par de caras. A 
probabilidade é:C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + 
C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... , certo?

Ou tem uma fórmula bonitinha pra esta soma?
Eu sei que se p = 1/2, então a probabilidade desejada também é 1/2, pois:C(n,0) 
+ C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = 2^(n-1).Tem uma 
demonstração bijetiva disso e outra que usa o teorema do binômio com (1 - 1)^n 
= 0.
Opa! Peraí que eu tive uma idéia...
Sabemos que:C(n,0)*(1-p)^n + C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + 
C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 1
Agora, expandindo ((1-p) - p) = (1-2p)^n, obteremos:C(n,0)*(1-p)^n - 
C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) - C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 
(1-2p)^n
Somando as duas expressões e dividindo a soma por 2, obtemos a probabilidade 
desejada:C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... 
= (1 + (1-2p)^n)/2

[]s,Claudio.




--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo.  

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Distribuição binomial, probabilidade de resultado par

[Claudio Buffara]

Em termos concretos, dados n lançamentos independentes de uma moeda cuja
probabilidade de cara é p, você quer a probabilidade de obtermos um número
par de caras.

A probabilidade é:
C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... ,
certo?

Ou tem uma fórmula bonitinha pra esta soma?

Eu sei que se p = 1/2, então a probabilidade desejada também é 1/2, pois:
C(n,0) + C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = 2^(n-1).
Tem uma demonstração bijetiva disso e outra que usa o teorema do binômio
com (1 - 1)^n = 0.

Opa! Peraí que eu tive uma idéia...

Sabemos que:
C(n,0)*(1-p)^n + C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) +
C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 1

Agora, expandindo ((1-p) - p) = (1-2p)^n, obteremos:
C(n,0)*(1-p)^n - C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) -
C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = (1-2p)^n

Somando as duas expressões e dividindo a soma por 2, obtemos a
probabilidade desejada:
C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... = (1
+ (1-2p)^n)/2

[]s,
Claudio.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.