[obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Quase todo conjunto que aparece em aplicações é Lebesgue mensurável. Por outro lado, o conjunto dos borelianos tem cardinalidade c (a de R) e o conjunto de todos os subconjuntos de R tem cardinalidade 2^c então em um sentido mais abstrato quase todo conjunto é não mensurável. hoje eu imagino que esse tipo de fato não cause espanto, mas é curioso que conjuntos que são difíceis de se imaginar sejam tão abundantes. e quanto ao problema 5 da OBM? eu acho que consegui demonstrar que o limite ficava entre duas constantes para qualquer valor de m... talvez eu tenha errado um pouco na minha estimativa por que o limite ficou entre 2 e 4 e eu acho que na verdade 2 é o máximo que o limite assume (será que 2 é sempre o limite?!), mas isso deve ter sido algum erro de conta mesmo. O do Arnalde e Bernaldo? O limite sempre existe mas o valor depende de m. A resposta é 2 se m for par, senão o valor é outro, próximo de 2, tendendo a 2 quando m tende a infinito mas diferente de 2. legal, nessa talvez eu ganhe uns pontos... eu basicamente provei um lema que afirmava que para m fixado, para todo N_0 positivo, se ambos os jogadores estivessem utilizando uma estratégia ótima, então o vencedor é determinado por N_0 (o primeiro ou o segundo a jogar). a partir daí deu pra estabelecer a relação entre os elementos de um conjunto e de outro, mas não insisti muito em fazer uma análise fina do limite |A_n|/|B_n| e fiquei apenas com cotas. a propósito, o problema 3 admite algo mais geral: as matrizes não precisam ser não-singulares, basta terem posto 2 (essa condição é bem mínima já que o segundo valor singular da matriz deve ser não-nulo para que a dilatação esteja bem definida). [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
On Wed, Oct 20, 2004 at 06:46:41PM -0300, Domingos Jr. wrote:
Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque
ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer
função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é
integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que
eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos
sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x,
y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito
(por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem
comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num
conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue
isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só
depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que
o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece
então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as
características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu
argumento da integral, certo?
Correto: o seu argumento prova que não existe
um conjunto A Lebesgue-mensurável satisfazendo
as condições do problema.
Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a
descrição do teorema de Tonelli em
http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html
Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece
que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale
em geral para a função que você construiu.
O problema é que não podemos afirmar que A é mensurável e portanto f
pode ser bem comportada no R^2 mas não integrável em A, certo?
Exatamente: não faz sentido integrar *nenhuma* função sobre um domínio
que não seja mensurável.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Nicolau C. Saldanha wrote:
On Wed, Oct 20, 2004 at 06:46:41PM -0300, Domingos Jr. wrote:
Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque
ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer
função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é
integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que
eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos
sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x,
y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito
(por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem
comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num
conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue
isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só
depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que
o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece
então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as
características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu
argumento da integral, certo?
Correto: o seu argumento prova que não existe
um conjunto A Lebesgue-mensurável satisfazendo
as condições do problema.
para concluir, então... existem mais conjuntos Lebesgue-mensuráveis do
que conjuntos não-Lebesgue-mensuráveis?
e quanto ao problema 5 da OBM? eu acho que consegui demonstrar que o
limite ficava entre duas constantes para qualquer valor de m... talvez
eu tenha errado um pouco na minha estimativa por que o limite ficou
entre 2 e 4 e eu acho que na verdade 2 é o máximo que o limite assume
(será que 2 é sempre o limite?!), mas isso deve ter sido algum erro de
conta mesmo.
Exatamente: não faz sentido integrar *nenhuma* função sobre um domínio
que não seja mensurável.
[]s, N.
ok!
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 06:20:42PM -0300, Domingos Jr. wrote:
Nicolau, gostaria de seus comentários (essa foi minha sol. na prova).
Seja f(x, y) uma função com f(x, y) 0 para todo x,y e tal que
Integral_{IR^2} f(x, y) dx dy = Z, 0 Z +oo, ou seja, o volume
formado por f e o plano xy é Z.
Vamos calcular a integral (Lebesgue) Integral_{A} f(x, y) dx dy.
Nada garante que a funcão f seja integrável e isto arruina o argumento.
Infelizmente eu acho que a sua solucão não merece muitos pontos.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Nada garante que a funcão f seja integrável e isto arruina o argumento. Infelizmente eu acho que a sua solucão não merece muitos pontos. Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é integravel. Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a descrição do teorema de Tonelli em http://planetmath. org/encyclopedia/TonellisTheorem.html Pode ser que eu realmente esteja entendendo errado, mas me parece que não se exige muito sobre a função f, de modo que certamente há exemplos simples que satisfazem as condições que eu especifiquei e se enquadram nas condições do teorema. [ ]'s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
On Wed, Oct 20, 2004 at 02:16:36PM -0300, dopikas wrote: Nada garante que a funcão f seja integrável e isto arruina o argumento. Infelizmente eu acho que a sua solucão não merece muitos pontos. Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é integravel. Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua. Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a descrição do teorema de Tonelli em http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale em geral para a função que você construiu. Pode ser que eu realmente esteja entendendo errado, mas me parece que não se exige muito sobre a função f, de modo que certamente há exemplos simples que satisfazem as condições que eu especifiquei e se enquadram nas condições do teorema. É verdade que existem muitos conjuntos A para os quais a função f é integrável e para os quais portanto a sua demonstração é correta. Mas isso não é muito surpreendente: afinal, não é nada difícil achar exemplos de conjuntos que não satisfazem as condições do problema. O que é mais difícil é provar que não existe nenhum conjunto com as propriedades dadas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque
ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer
função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é
integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que
eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos
sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x,
y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito
(por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem
comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num
conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue
isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só
depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que
o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece
então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as
características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu
argumento da integral, certo?
Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a
descrição do teorema de Tonelli em
http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html
Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece
que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale
em geral para a função que você construiu.
O problema é que não podemos afirmar que A é mensurável e portanto f
pode ser bem comportada no R^2 mas não integrável em A, certo?
Abraços.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 18:46:41 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos sobre integral de Lebesgue tem medida nula... Isso não quer dizer nada. Eles podem ser não-enumeráveis mesmo assim...
[obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Nicolau, gostaria de seus comentários (essa foi minha sol. na prova).
Seja f(x, y) uma função com f(x, y) 0 para todo x,y e tal que
Integral_{IR^2} f(x, y) dx dy = Z, 0 Z +oo, ou seja, o volume
formado por f e o plano xy é Z.
Vamos calcular a integral (Lebesgue) Integral_{A} f(x, y) dx dy.
Podemos aplicar a regra de Fubini nessa integral (pelo menos é o que eu
li). Ou seja, se integrarmos primeiro na direção do eixo x e depois na
do eixo y ou vice-versa, o resultado deve ser o mesmo.
Mas isso nos garante uma contradição, já que se considerarmos um x
qualquer fixado, a integral em todo y real deve dar zero já que ele é um
conjunto com medida nula (enumerável na sua modificação e finito no
enunciado original), ou seja, a integral deve ser 0. Por outro lado,
fixando y, temos apenas um conjunto de pontos com medida nula o qual não
devemos considerar na integração, mas isso garante que essa integral é
positiva (já que f(x, y) 0), mas então, olhando por esse lado, a
integral é estritamente positiva (de fato, seu valor é Z).
Acertei?
[ ]'s
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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