[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Auggy,
Independentemente das contas, a criatividade na construção dos triângulos é
magnífica. Lendo o link, vi que o Cláudio já havia pensado no cálculo da
área por integral e teve uma idéia muito melhor em relação à posição dos
eixos, com origem em B em vez de A.
Enfim, apesar de trabalhoso, é um problema bonito.
Cláudio,
Parabéns por ambas as soluções!
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, April 13, 2004 5:41 PM
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Sai na geometria mas da umas contas chatas.
na primeira figura:
---
(area em amarelo) = (area do circulo menor) - 2*(area em verde)
(area em vermelho) = (area do quadrado) -
1/4*{(area do circulo maior) + [(area do quadrado)-(area circulo menor)]} -
(area em verde)
---
na segunda figura:
---
(area em laranja) = (setor circular PBQ) - 2*(triangulo PBO - area em azul)
(area em verde) = (setor circular POQ) - (area em laranja)
--
Como todos os lados do triangulo sao conhecidos (em funcao do lado do
quadrado). Agulos e areas sao questao de braco.
A descricao da figura 2 vc encontra no link
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200310/msg00574.html
em uma menssagem do grande Claudio BUffara que ainda teve paciencia
montruosa de me explicar em off o problema.
Em meu email anterior eu tinha feito confusao e atribuido a mensagem do link
acima a outro fera, o Paulo Santa Rita que mandou uma mensagem sobre "lua
algebrica", que tb vale a pena conferir.
E' muito genio pra keep track.
Valeu Super Buffara!
[]s,
Auggy
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Sai na geometria mas da umas contas chatas.
na primeira figura:
---
(area em amarelo) = (area do circulo menor) - 2*(area em verde)
(area em vermelho) = (area do quadrado) -
1/4*{(area do circulo maior) + [(area do quadrado)-(area circulo menor)]} -
(area em verde)
---
na segunda figura:
---
(area em laranja) = (setor circular PBQ) - 2*(triangulo PBO - area em azul)
(area em verde) = (setor circular POQ) - (area em laranja)
--
Como todos os lados do triangulo sao conhecidos (em funcao do lado do
quadrado). Agulos e areas sao questao de braco.
A descricao da figura 2 vc encontra no link
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200310/msg00574.html
em uma menssagem do grande Claudio BUffara que ainda teve paciencia
montruosa de me explicar em off o problema.
Em meu email anterior eu tinha feito confusao e atribuido a mensagem do link
acima a outro fera, o Paulo Santa Rita que mandou uma mensagem sobre "lua
algebrica", que tb vale a pena conferir.
E' muito genio pra keep track.
Valeu Super Buffara!
[]s,
Auggy
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: "OBM-L" <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Date: Tue, 13 Apr 2004 03:20:58 -0300
Eu desisto...
Tentei encontrar uma solução simples, como pedia o Eduardo, mas a melhor
forma que vejo agora é calcular, por integral, a área verde e só depois
encontrar a área amarela.
Minha idéia é pôr a circunferência de centro A na origem do sistema de
coordenadas; o lado do quadrado não será mais x, e sim R; a equação da
circunferência citada será x^2 + y^2 = R^2. A circunferência inscrita no
quadrado terá equação: (x-R/2)^2 + (y+R/2)^2 = R^2/4. Os pontos de
intersecção das equações são:
( R*(5 + sqrt(7))/8 ; R*(sqrt(7) - 5)/8 )
e
( R*(5 - sqrt(7))/8 ; -R*(5 + sqrt(7))/8 )
A área S amarela será dada por:
S = Pi * R^2/4 - 2*(Integral[- sqrt(R^2 - x^2)] dx -
- Integral[- R/2 + sqrt(x*R - x^2)] dx)
O intervalo das integrais é [R*(5 - sqrt(7))/8 ; R*(5 + sqrt(7))/8].
Depois de muito trabalho algébrico (deixado para o Mathematica),
voltando de R para x, chegamos à expressãozinha anexada a esta mensagem,
por razões óbvias...
Dá para entender o porquê de a questão ser persistente...
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Sunday, April 11, 2004 3:12 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Obrigado pelo elogio à figura, Qwert.
Na verdade, o que tornou a minha solução errada foi não ter somado quatro
vezes a área vermelha, pois cada uma acabou sendo subtraída duas vezes.
Pelo
que vejo, descobrindo a área vermelha, teremos a área amarela (que foi a
que
pretendi calcular) e a diferença da área do círculo menor (de raio x) com
esta área amarela é, precisamente, a área verde.
Descobrir essa área vermelha é que não me parece muito fácil...
<< FigColor.gif >>
<< result.gif >>
_
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<><>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Eu desisto... Tentei encontrar uma solução simples, como pedia o Eduardo, mas a melhor forma que vejo agora é calcular, por integral, a área verde e só depois encontrar a área amarela. Minha idéia é pôr a circunferência de centro A na origem do sistema de coordenadas; o lado do quadrado não será mais x, e sim R; a equação da circunferência citada será x^2 + y^2 = R^2. A circunferência inscrita no quadrado terá equação: (x-R/2)^2 + (y+R/2)^2 = R^2/4. Os pontos de intersecção das equações são: ( R*(5 + sqrt(7))/8 ; R*(sqrt(7) - 5)/8 ) e ( R*(5 - sqrt(7))/8 ; -R*(5 + sqrt(7))/8 ) A área S amarela será dada por: S = Pi * R^2/4 - 2*(Integral[- sqrt(R^2 - x^2)] dx - - Integral[- R/2 + sqrt(x*R - x^2)] dx) O intervalo das integrais é [R*(5 - sqrt(7))/8 ; R*(5 + sqrt(7))/8]. Depois de muito trabalho algébrico (deixado para o Mathematica), voltando de R para x, chegamos à expressãozinha anexada a esta mensagem, por razões óbvias... Dá para entender o porquê de a questão ser persistente... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, April 11, 2004 3:12 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!! Obrigado pelo elogio à figura, Qwert. Na verdade, o que tornou a minha solução errada foi não ter somado quatro vezes a área vermelha, pois cada uma acabou sendo subtraída duas vezes. Pelo que vejo, descobrindo a área vermelha, teremos a área amarela (que foi a que pretendi calcular) e a diferença da área do círculo menor (de raio x) com esta área amarela é, precisamente, a área verde. Descobrir essa área vermelha é que não me parece muito fácil... FigColor.gif Description: Binary data result.gif Description: Binary data
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Esta resolução está errada... :-( Vou tentar consertar e reenvio depois. - Original Message - From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, April 10, 2004 9:50 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!! Eduardo, Esse exercício é facilitado se você fizer algumas construções. Primeiramente, vamos subtrair a área de um setor de 90° e raio x da área do quadrado ABCD: S1 = x^2 - (Pi * x^2)/4 = x^2 * (1 - Pi/4) Depois disso, ligue o centro da circunferência inscrita no quadrado ao ponto médio de dois lados adjacentes do quadrado; construiremos um quadrado de lado x/2. Da área deste quadrado subtraímos a área de um setor de 90° e raio x/2: S2 = (x/2)^2 - (Pi * (x/2)^2)/4 = x^2 * (1 - Pi/4) / 4 Pronto! A área que procuramos é: S = x^2 - 2 * S1 - 2 * S2 = x^2 - 2 * (S1 - S2) S = x^2 - 2 * (3/4 * x^2 * (1 - Pi/4)) S = x^2 - 3/2 * x^2 * (1 - Pi/4) S = x^2 * (1 - 3/2 * (1 - Pi/4) S = x^2 * (1 - 3/2 + 3*Pi/8) S = x^2 * (3*Pi - 4) / 8 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "Eduardo de Melo Beltrão" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, April 10, 2004 7:02 PM Subject: [obm-l] Dúvida persistente!!! Olá pessoal, Tenho uma dúvida que já perdura por anos. Gostaria de compartilhar com vocês, e se a resposta já foi lançada na lista, gostaria apenas que indicassem o caminho para eu poder analisar. Desde já agradeço. Eduardo Beltrão Num quadrado ABCD de lado x está inscrita uma circunferência L1. Os vértices opostos A e C do quadrado são centros das circunferências L2 e L3, de raios igual ao lado do mesmo. Determinar a área da região formada pela interseção de L1, L2 e L3 em função de x. (Tente usar apenas conhecimentos de geometria plana). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
