Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Claudio Buffara]

Se a reta for perpendicular a MN, intersectando o segmento no ponto P, digamos, 
então a solução é Q = P.
Isso pode ser visto sem cálculo. Apenas comPitágoras  e algebra 
(especificamente, a identidade:
 raiz(a) - raiz(b) = (a - b)/(raiz(a) +  raiz(b))

Pro caso da reta ser oblíqua, Pitágoras é substituído pela lei dos cossenos e a 
álgebra fica mais chatinha.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 17 de jul de 2019, à(s) 23:36, Rodrigo Ângelo  
escreveu:

> Acho que neste caso dá pra usar hipérboles 
> 
> Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2, 
> ..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as 
> retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?
> 
>> On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz  wrote:
>> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos. 
>> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
>> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a 
>> solução para alunos que não estudaram derivadas...
>> 
>> Muito obrigado!
>> 
>> Em ter, 16 de jul de 2019 Ã s 13:30, Claudio Buffara 
>>  escreveu:
>>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e 
>>> tão distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>> 
>>> Abs
>>> 
>>> Enviado do meu iPhone
>>> 
>>> Em 16 de jul de 2019, Ã (s) 15:44, Vanderlei Nemitz  
>>> escreveu:
>>> 
>>> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar 
>>> > derivadas?
>>> > 
>>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de 
>>> > equação y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos 
>>> > pontos M(4, 1) e N(0, 4) seja máxima.
>>> > 
>>> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que 
>>> > a diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
>>> > 
>>> > 
>>> > Muito obrigado!
>>> > 
>>> > Vander
>>> > 
>>> > -- 
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

[Rodrigo Ângelo]

Acho que neste caso dá pra usar hipérboles

Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2,
..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as
retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?

On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos.
> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
> para alunos que não estudaram derivadas...
>
> Muito obrigado!
>
> Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
>> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>
>> Abs
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
>> escreveu:
>>
>> > Pessoal, é possível resolver a seguinte questão sem utilizar
>> derivadas?
>> >
>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente à reta de
>> equação y = 3x - 1 tal que a diferença de suas distâncias aos pontos
>> M(4, 1) e N(0, 4) seja máxima.
>> >
>> > A resposta mostra que o triângulo MQN é retângulo em Q, para que a
>> diferença seja máxima. Isso ocorre sempre?
>> >
>> >
>> > Muito obrigado!
>> >
>> > Vander
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

[Francisco Barreto]

perdão

On Tue, 22 Aug 2017 at 20:04 Ralph Teixeira  wrote:

> Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.
>
> O Teorema de Apolonio
>  diz que
>
> PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)
>
> (obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
> fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
> e raio quadrado k^2/2 - a^2...
>
> Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
> Entao:
> a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
> b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
> c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
> tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
> tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
> sim, servem!).
>
> Usando Vetores: (uso  para produto interno)
> +=k^2
> 2-2-2++=k^2
> -=(k^2--)/2
> Agora complete quadrados
> -2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
> --)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
>  = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
> ||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
> Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ogrigado Ralph, vc sempre respondendo rápido, obrigado mesmo!Vlw, era isso
mesmo o t era fixovlw

Em 23 de julho de 2015 23:04, Ralph Teixeira  escreveu:

> Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
> variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma "superficie" em 4
> dimensoes.
>
> Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
> bom, ok, nao sei. :)
>
> Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
> sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
> tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
> eh "quase" equivalente a
>
> a=k.pi+b+c-pi/2.
>
> E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
> a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
> sinais ali) no espaco abc e entao "senificar" as coordenadas.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
>> dimensões?
>>
>> xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica

[leandro]

Fael,

 

O Claudio apresentou uma
otima solucao e assim voce pode ver que tem diversas formas de resolver o
problema. A ilustracao que o Claudio se referiu e muito boa e as vezes num
vestibular onde o quesito tempo e super-importante voce pode sair na frente. 

 

Leandro. 

 

-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Cláudio (Prática)
Sent: Wednesday, March 12, 2003
12:13 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] geometria
analítica

 



Oi, Fael (e demais colegas):





 





Eu tenho sempre te aconselhado a
desenhar os gráficos e tentar visualizar a situação do problema antes de sair
escrevendo equações a torto e a direito. 





 





Estes dois problemas são uma boa
ilustração. Espero que o Morgado me apoie nesse ponto





 





 





(FUVEST) A reta y= mx (m>0) é
tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a
reta forma com o eixo x. 





Circunferência: C(4,0); R = 2





Desenhe o gráfico e veja que o seno
desejado é igual a R/D, onde D = distância do centro à origem = 4





 





Logo, seno = 2/4 = 1/2.






resp: 1/2 





**






(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 





Complete os quadrados e reduza à
forma normal:





x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = -1 + 1
+ 4 ==>





(x+1)^2 + (y-2)^2 = 2^2 ==>
C(-1,2); R = 2





 





A reta tangente por P é normal ao
raio CP. 





Mas C e P têm a mesma abscissa
==> 





CP é vertical ==> 





a tangente por P é horizontal ==>





Equação da tangente: y = 4.





 





resp: y=4 





 





Um abraço,





Claudio.





 







- Original Message - 





From: [EMAIL PROTECTED] 





To: [EMAIL PROTECTED]






Sent: Tuesday,
March 11, 2003 6:27 PM





Subject: [obm-l]
geometria analítica





 



Olá Morgado, 

Como resolver estas: 


(FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 

resp: y=4