Boa noite:
1) Comentando a resposta do Ralph: Tal fato se trata basicamente do teorema de
Wilson que fala que:
n divide (n-1)! se n for um número composto.
Se n for um primo temos que n deixará resto n-1 na divisão de (n-1)!.
O problema é basicamente o teorema, só que multiplicado por n.
2)Uma saída é pensar de maneira trigonomérica: sendo y_i = tg(x_i) temos que:
0= (y_i - y_j)/(1+(y_i)(y_j)) =1 é equivalente a dizer
0=[tg(x_i)-tg(x_j)/[1+tg(x_i)tg(x_j)]=1 que é o mesmo que:
0= Tg(x_i - x_j) = 1
O resultado dessa equação é:
x_i - x_j = [k*pi ; pi/4 + k*pi] tal que k é um número inteiro.
Vamos provar que podemos reduzir esse problema ao 1º e ao 2º quadrante.
x_i = (k')*pi + r
x_j = (k'')*pi + s
Sendo r e s números reais entre 0 e pi.
x_i - x_j = (k' - k'')pi + (r-s)
O que caracteriza um arco reduzível ao primeiro quadrante.
Dividindo o primiero e o segundo quadrante em 4 intervalos [0,45º); (45º;90º] ;
(90º;135º] ; (135º;180º]
Colocamos um dos 4 primeiros y's em cada intervalo.
Pelo princípio dos pombos o 5º tem que entrar em um intervalo já ocupado, o que
prova a existencia de dois reais que satisfazem a equação.
OBS: por causa do = nas equações do problema eu acho que a cada 4 reais
quaisquer você acha 2 que satisfazem a equação, sendo necessários 5 reais caso
haja só a desigualdade, mas não tenho certeza disso.
Espero que tenha ajudado.
Abraço,
Athos.
Date: Thu, 9 Aug 2012 14:53:40 -0400
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Não consigo resolver
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
1. Bom, a chave eh olhar para os divisores de n. Se n tiver pelo menos 4
divisores positivos (distintos), digamos, 1, p, q=n/p e n, entao n^2 divide n!.
Por que? Oras, n!=1.2.3...n. Nesse produto teriamos os numeros p, q e n, e este
produto jah tem pqn=n^2.
Em suma, para que n! NAO seja divisivel por n^2, n tem que ter no maximo 3
divisores positivos distintos. a) UM DIVISOR. Seria n=1... mas nao serve, pois
1^2=1 divide 1!=1.
b) DOIS DIVISORES. Entao n seria um numero primo, digamos, n=p primo. Entao o
fator p nao aparece em nenhum dos numeros 1,2, ..., (p-1), e portanto soh
aparece uma vez em p!. Entao p^2 nao divide p!.c) TRES DIVISORES. Entao n seria
o quadrado de um primo, digamos, n=p^2. Mas, se p2, teriamos os fatores
1,p,2p,p^2 em n! (pois 1p2pp^2), e entao seu produto 2p^4=2n^2 dividiria n!.
Entao o unico caso que sobra eh p=2, que SERVE, pois 4^2=16 nao divide 4!=24.
RESPOSTA: n=p onde p eh primo, ou n=4. 2. Estou sem tempo para fazer o
segundo... Mas notei que (x-y)/(1+xy)=1 eh equivalente a
y=f(x)=(x+1)/(1-x)=-1+2/(1-x). Agora, esta funcao f(x) tem periodo 4, isto eh,
f(f(f(f(x=x... Em outras palavras, f leva (0,1) em (1,+Inf), leva (1,+Inf)
em (-Inf,-1), isto em (-1,0) e isto de volta em (0,1). Pelo principio da casa
dos pombos, dados 5 numeros tem de haver 2 deles em um desses 4 intervalos
De algum jeito isto vai provar o problema -- mas nao sei se os numeros que a
gente quer ver sao os y_i, os f(y_i) ou os f^(-1)(y_i) Bom, serah que
alguem consegue completar minha ideia capenga?
Abraco, Ralph
2012/8/9 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com
Estou com alguns problemas aqui que não estão saindo e agradeceria bastante
ajuda.
01. Encontre todos os números ''n'' naturais tais que n² não seja divisor de n!
02.Prove que dentre quaisquer cinco reais y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, existem dois
que satisfazem:
0= (y_i - y_j)/(1+(y_i)(y_j)) =1.