Obrigado.
Em 27 de fevereiro de 2015 12:55, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:
Bem, para a bijeção só falta mostrar a injeção, suponha por absurdo xy e
f(x)=f(y), a sequência x, y, x, y, x, y, é divergente, mas sua imagem
não, pois é constante, já q f(x)=f(y).
Agora, suponha a inversa g descontínua, então existe e0, e x real tais
que para todo n natural,
|g(x)-g(y)|e, para |x-y|1/n. Então vc faz x=f(a) e y=f(bn), onde a
sequência bn é divergente, assim fica:
|a-bn|e (já que bn diverge) além disso |f(a)-f(bn)|1/n, o que implica
que f(bn) converge para f(a), gerando um absurdo.
Talvez haja algum erro bobo que precise ser corrigido, mas acho q é isso.
Em 27 de fevereiro de 2015 08:37, Gabriel Lopes cronom...@gmail.com
escreveu:
*Gostaria de ajuda com a seguinte questão vinda da Romênia , acho que da
olimpíada (o livro não especifica qual olímpíada e qual ano) :
- Seja f: R -- R uma função sobrejetiva , satisfazendo a seguinte
propriedade : para toda sequência divergente (a_n) , n = 1 , a sequência
(f(a_n)) , n = 1 , também é divergente . Prove que f é bijetiva e que
sua função inversa f^(-1) é contínua.
*O livro oferta a seguintes dicas :
1.(Para provar que f é bijetiva) Tome x,y em R distintos e considere
(a_n) ,n = 1 , a sequência divergente tal que a_2k = x e a_2k-1 = y ,
para todo k = 1 , e utilize a segunda hipótese do enunciado .
* Aqui deduzimos que existe e 0 tal que para todo n* em N temos: m,n
n*, m n , então | f(a_m) - f(a_n) | = | f(x) - f(y) | = e ;
pela relação entre sequências convergentes e sequências de Cauchy , e
então negando a afirmação : ( f(a_n) ) ,n =1 , é convergente .
2.(Para provar que f^(-1) é contínua) Use as Hipóteses sobre f para
mostrar que f^(-1) transforma sequências convergentes em sequências
convergentes.
*Parei por aqui mas os seguintes comentários são pertinentes :
I. O capítulo do livro em que tirei este problema fala sobre
Continuidade Sequencial e prova o seguinte TMA : Uma função f: I -- R
, onde I é um intervalo, é contínua se , e só se , a seguinte condição for
satisfeita : para todo a em I e toda sequência (a_n),n = 1, de
elementos de I , temos : lim(a_n) = a , então lim( f(a_n) ) = f(a)
. (não consegui só com ele)
II. Procurei sobre o TMA em outro livro ,Curso de Análise Vol.1 Elon
Lages , Capítulo VII , e encontrei o seguinte corolário : A fim de que f
seja contínua no ponto a , é suficiente que , para toda sequência de
pontos a_n de X ( creio que X é uma união de Intervalos) com
lim( a_n ) = a , exista lim( f(a_n) ) . O mesmo não foi
demonstrado ,e também não consegui faze-lo , mas acho que ele é
suficiente para resolver a questão.
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará
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